Mon cahier › Équations différentielles

Fiche de synthèse — Équations différentielles

1. Équation différentielle de la forme $y'=ay$

Les solutions sont les fonctions :

\boxed{y(x)=Ce^{ax}}

où $C\in\mathbb{R}$ .

$a>0$ : les solutions non nulles sont exponentiellement croissantes.
$a<0$ : les solutions non nulles tendent vers $0$ quand $x\to+\infty$ .
$a=0$ : les solutions sont constantes.

2. Équation différentielle de la forme $y'=ay+b$

Si $a\neq 0$ , les solutions sont :

\boxed{y(x)=Ce^{ax}-\frac{b}{a}}

où $C\in\mathbb{R}$ .

Si $a=0$ , l'équation devient $y'=b$ , donc :

\boxed{y(x)=bx+C}

3. Utiliser une condition initiale

Une condition initiale permet de déterminer la constante $C$ .

Méthode :

Écrire la forme générale des solutions.
Remplacer $x$ et $y(x)$ par les valeurs données.
Résoudre l'équation obtenue pour trouver $C$ .
Écrire la solution particulière.

Exemple de condition initiale : si $y(0)=3$ et $y(x)=Ce^{2x}$ , alors :

3=Ce^0=C

Donc une solution particulière est $y(x)=3e^{2x}$ .

4. Réflexes essentiels

Identifier la forme de l'équation avant de chercher les solutions.
Ne pas confondre $y'=ay$ et $y'=ay+b$ .
Ne pas oublier la constante réelle $C$ .
Pour une condition initiale, remplacer les valeurs dans la solution générale.
Vérifier la solution en la dérivant et en la remplaçant dans l'équation si nécessaire.

À retenir :

y'=ay \Rightarrow y=Ce^{ax}

y'=ay+b,\ a\neq0 \Rightarrow y=Ce^{ax}-\frac{b}{a}