Résoudre une équation différentielle

Cette fiche apprend à résoudre les deux types d'équations différentielles du programme : $y' = ay$ et $y' = ay + b$ . Pour chacune, on trouve toutes les solutions.

1. Équations différentielles de la forme $y' = ay$

Reconnaître une équation de cette forme

Une équation de la forme $y' = ay$ ne contient que $y'$ et un multiple de $y$ : le nombre $a$ est une constante réelle, qui ne dépend pas de $x$ .

Ces équations différentielles sont-elles de la forme $y' = ay$ ?

$y' = 3y$ : oui, avec $a = 3$ ;
$y' = -0{,}5\,y$ : oui, avec $a = -0{,}5$ ;
$y' = y$ : oui, avec $a = 1$ ;
$y' = 3y + 1$ : non, il y a un terme constant en plus (c'est la forme de la partie 2).

Comprendre pourquoi les fonctions exponentielles apparaissent

Résoudre $y' = ay$ , c'est chercher une fonction dont la dérivée est proportionnelle à elle-même.

Les fonctions exponentielles ont précisément cette propriété :

$\left(e^{ax}\right)' = a\,e^{ax}$

Une fonction polynôme, par exemple, perd un degré quand on la dérive : elle ne peut pas rester proportionnelle à elle-même. C'est pourquoi les exponentielles sont les bonnes candidates.

Déterminer la forme générale des solutions

Propriété. Les solutions de l'équation $y' = ay$ sont les fonctions de la forme:

$y(x) = C\,e^{ax}, \quad C \in \mathbb{R}$

Exemples :

$y' = 3y$ :

Les solutions $y(x)$ sont de la forme $Ce^{3x}$ .

$y' = -0{,}5\,y$ :

Les solutions $y(x)$ sont de la forme $Ce^{-0{,}5x}$ .

Vérifier qu'une expression obtenue est bien solution

Reprendre la méthode en trois temps de la fiche précédente.

Exemple : vérifier que $y(x) = e^{3x}$ est solution de $y' = 3y$ .

Dérivée : $y'(x) = 3e^{3x}$ .
Autre côté : $3y(x) = 3e^{3x}$ .
Les deux sont égaux pour tout $x$ : la fonction est bien solution, quelle que soit la valeur de $C$ .

Comprendre le rôle de la constante $C$

La constante $C$ est un réel quelconque : chaque valeur donne une solution différente.

$C = 1$ donne $e^{3x}$ ;
$C = 5$ donne $5e^{3x}$ ;
$C = 0$ donne la fonction nulle.

Tant qu'on n'a pas d'information supplémentaire, $C$ reste libre. C'est une condition initiale qui permet de fixer sa valeur.

2. Équations différentielles de la forme $y' = ay + b$

On suppose $a \neq 0$ et $b$ réel, tous deux constants.

Reconnaître une équation de cette forme

L'équation contient $y'$ , un multiple de $y$ , et un terme constant $b$ .

Les équations différentielles suivant sont-elles de la forme $y' = ay+b$ ?

$y' = 2y + 6$ : oui, avec $a = 2$ et $b = 6$ ;
$y' = -0{,}1\,y + 2$ : oui, avec $a = -0{,}1$ et $b = 2$ ;
$y' = 4y - 8$ : oui, avec $a = 4$ et $b = -8$ (le signe fait partie de $b$ ).

Trouver une constante qui donne une solution

On cherche d'abord une solution constante, c'est-à-dire une fonction $y(x) = c$ où $c$ est un nombre.

Une fonction constante a une dérivée nulle : $y' = 0$ . En remplaçant dans l'équation :

$0 = a \times c + b \quad \Longrightarrow \quad c = -\frac{b}{a}$

Exemple : pour $y' = 2y + 6$ , on a $c = -\dfrac{6}{2} = -3$ .

Vérification : $y(x) = -3$ donne $y' = 0$ et $2y + 6 = 2 \times (-3) + 6 = 0$ . Les deux côtés sont égaux.

Déterminer la forme générale des solutions

Propriété. Pour $a \neq 0$ , les solutions de $y' = ay + b$ sont les fonctions :

$y(x) = C\,e^{ax} - \frac{b}{a}, \quad C \in \mathbb{R}$

Exemple : pour $y' = 2y + 6$ , les solutions sont $y(x) = Ce^{2x} - 3$ .

Comprendre le lien avec l'équation $y' = ay$

La forme générale se lit en deux morceaux :

$y(x) = \underbrace{C\,e^{ax}}_{\text{solutions de } y' = ay} \;\; \underbrace{-\;\frac{b}{a}}_{\text{la constante trouvée}}$

D'où vient ce résultat ? Notons $c = -\dfrac{b}{a}$ la constante précédente, et posons $z = y - c$ . Alors :

$z' = y' = ay + b = a(y - c) + ac + b = a z$

car $ac + b = 0$ . La fonction $z$ vérifie donc $z' = az$ , c'est-à-dire $z(x) = Ce^{ax}$ . Ainsi $y = z + c = Ce^{ax} + c$ .

Vérifier la solution obtenue

Exemple : vérifier que $y(x) = e^{2x} - 3$ est solution de $y' = 2y + 6$ .

Dérivée : $y'(x) = 2e^{2x}$ .
Autre côté : $2y(x) + 6 = 2\left(e^{2x} - 3\right) + 6 = 2e^{2x} - 6 + 6 = 2e^{2x}$ .
Les deux sont égaux pour tout $x$ : la fonction est bien solution.

3. Grand exemple guidé

Énoncé. Une boisson chaude est posée dans une pièce à 20 °C. Sa température $T(t)$ , en °C, au bout de $t$ minutes vérifie :

$T'(t) = -0{,}1\,T(t) + 2$

Déterminer toutes les fonctions $T$ solutions de cette équation.

Reconnaître le type d'équation

L'équation contient $T'$ , un multiple de $T$ , et un terme constant. C'est de la forme $y' = ay + b$ , avec $y = T$ et la variable $t$ :

$a = -0{,}1 \qquad b = 2$

Choisir la méthode adaptée

Pour une équation $y' = ay + b$ :

chercher la constante qui est solution ;
ajouter $Ce^{at}$ pour obtenir toutes les solutions.

Déterminer la forme des solutions

D'après la méthode, les solutions s'écrivent :

$T(t) = C\,e^{-0{,}1t} + c$

où $c$ est la constante solution de l'équation.

Effectuer les calculs

Calculer la constante : $c = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{2}{-0{,}1} = 20$ .

Les solutions sont donc :

$T(t) = C\,e^{-0{,}1t} + 20, \quad C \in \mathbb{R}$

Vérifier le résultat

Dérivée : $T'(t) = -0{,}1\,Ce^{-0{,}1t}$ .
Autre côté : $-0{,}1\,T(t) + 2 = -0{,}1\left(Ce^{-0{,}1t} + 20\right) + 2 = -0{,}1\,Ce^{-0{,}1t} - 2 + 2 = -0{,}1\,Ce^{-0{,}1t}$ .

Les deux côtés sont égaux : la fonction est bien solution.

Comparer avec la situation de départ

Quand $t$ devient grand, $e^{-0{,}1t}$ se rapproche de 0, donc $T(t)$ se rapproche de 20, quelle que soit la valeur de $C$ . La boisson finit par prendre la température de la pièce : c'est cohérent avec la situation.

La constante $C$ dépend de la température de départ :

si $C > 0$ , la boisson est plus chaude que la pièce et elle refroidit ;
si $C < 0$ , la boisson est plus froide que la pièce et elle se réchauffe.

La température de départ permettra de fixer $C$ : c'est l'objet de la fiche suivante.

4. Erreurs fréquentes

Confondre les formes $y' = ay$ et $y' = ay + b$

Regarder s'il y a un terme constant. Les solutions n'ont pas la même forme :

$y' = ay$ : $y(x) = Ce^{ax}$ ;
$y' = ay + b$ : $y(x) = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}$ .

Oublier le terme constant $b$ dans la résolution de $y' = ay + b$

Pour $y' = 2y + 6$ , écrire $y(x) = Ce^{2x}$ est faux. Le test de vérification le montre : $y' = 2Ce^{2x}$ , mais $2y + 6 = 2Ce^{2x} + 6$ , et ces deux expressions ne sont pas égales.

La bonne réponse est $y(x) = Ce^{2x} - 3$ .

Se tromper dans la forme générale des solutions

Deux erreurs de signe sont fréquentes :

le signe de l'exposant : pour $y' = -3y$ , la solution est $Ce^{-3x}$ , pas $Ce^{3x}$ ;
le signe de la constante : pour $y' = -0{,}1\,y + 2$ , la constante est $-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{2}{-0{,}1} = +20$ , pas $-20$ .

Oublier la constante $C$ lorsqu'on cherche l'ensemble des solutions

Écrire $y(x) = e^{2x}$ ne donne qu'une solution. Pour l'ensemble des solutions de $y' = 2y$ , écrire $y(x) = Ce^{2x}$ avec $C \in \mathbb{R}$ .

Faire une erreur de calcul dans la détermination de la solution

Le calcul de $-\dfrac{b}{a}$ demande de la rigueur, surtout avec des signes négatifs.

Pour $y' = 4y - 8$ , on a $b = -8$ : la constante est $-\dfrac{-8}{4} = 2$ , et non $-2$ .

Vérification : $y = 2$ donne $y' = 0$ et $4 \times 2 - 8 = 0$ .

Ne pas vérifier que la fonction obtenue satisfait bien l'équation différentielle

Prendre 30 secondes pour vérifier : dériver, remplacer $y$ dans l'équation, comparer. Cette vérification détecte la plupart des erreurs de signe et les oublis de constante.

Résoudre une équation différentielle

1. Équations différentielles de la forme y′=ayy' = ayy′=ay

Reconnaître une équation de cette forme

Comprendre pourquoi les fonctions exponentielles apparaissent

Déterminer la forme générale des solutions

Vérifier qu'une expression obtenue est bien solution

Comprendre le rôle de la constante CCC

2. Équations différentielles de la forme y′=ay+by' = ay + by′=ay+b

Reconnaître une équation de cette forme

Trouver une constante qui donne une solution

Déterminer la forme générale des solutions

Comprendre le lien avec l'équation y′=ayy' = ayy′=ay

Vérifier la solution obtenue

3. Grand exemple guidé

Reconnaître le type d'équation

Choisir la méthode adaptée

Déterminer la forme des solutions

Effectuer les calculs

Vérifier le résultat

Comparer avec la situation de départ

4. Erreurs fréquentes

Confondre les formes y′=ayy' = ayy′=ay et y′=ay+by' = ay + by′=ay+b

Oublier le terme constant bbb dans la résolution de y′=ay+by' = ay + by′=ay+b

Se tromper dans la forme générale des solutions

Oublier la constante CCC lorsqu'on cherche l'ensemble des solutions

Faire une erreur de calcul dans la détermination de la solution

Ne pas vérifier que la fonction obtenue satisfait bien l'équation différentielle

1. Équations différentielles de la forme $y' = ay$

Comprendre le rôle de la constante $C$

2. Équations différentielles de la forme $y' = ay + b$

Comprendre le lien avec l'équation $y' = ay$

Confondre les formes $y' = ay$ et $y' = ay + b$

Oublier le terme constant $b$ dans la résolution de $y' = ay + b$

Oublier la constante $C$ lorsqu'on cherche l'ensemble des solutions