Résoudre une équation différentielle avec une condition initiale

Une équation différentielle a une infinité de solutions, car la constante $C$ reste libre. Une condition initiale donne un point de passage de la courbe : elle fixe $C$ , et il ne reste alors qu'une seule solution.

1. Utiliser une condition initiale

Une condition initiale s'écrit sous la forme $y(x_0) = y_0$ : lorsque $x = x_0$ , la fonction vaut $y_0$ .

Par exemple, $y(0) = 5$ signifie que pour $x = 0$ , la fonction vaut 5.

Remplacer $x$ et $y$ par les valeurs données

Partir de la forme générale des solutions. Remplacer $x$ par $x_0$ et $y(x)$ par $y_0$ . On obtient une équation dont l'inconnue est $C$ .

Déterminer la constante $C$

Résoudre cette équation d'inconnue $C$ .

Écrire la solution correspondante

Remplacer $C$ par sa valeur dans la forme générale. On obtient l'unique solution qui vérifie la condition initiale.

Exemple 1

Résoudre $y' = 2y + 6$ avec la condition initiale $y(0) = 5$ .

Forme générale (fiche précédente) : $y(x) = Ce^{2x} - 3$ .

Remplacer $x = 0$ et $y = 5$ :

$Ce^{2 \times 0} - 3 = 5$

Déterminer $C$ : comme $e^0 = 1$ , on obtient

$C - 3 = 5 \quad \Longrightarrow \quad C = 8$

Écrire la solution :

$y(x) = 8e^{2x} - 3$

Contrôle rapide : $y(0) = 8 - 3 = 5$ . La condition initiale est bien respectée.

Exemple 2

Résoudre $y' = 3y$ avec la condition initiale $y(1) = 2$ .

Forme générale : $y(x) = Ce^{3x}$ .

Remplacer $x = 1$ et $y = 2$ (attention : $x$ est remplacé partout, y compris dans l'exposant) :

$Ce^{3 \times 1} = 2 \quad \Longrightarrow \quad Ce^3 = 2$

Déterminer $C$ :

$C = \frac{2}{e^3} = 2e^{-3}$

Écrire la solution :

$y(x) = 2e^{-3}\,e^{3x} = 2e^{3x - 3}$

2. Exploiter la solution

Calculer une valeur demandée

Reprenons la boisson de la fiche précédente : $T'(t) = -0{,}1\,T(t) + 2$ , dont les solutions sont $T(t) = Ce^{-0{,}1t} + 20$ .

On sait que la boisson est servie à 90 °C, soit $T(0) = 90$ .

Déterminer $C$ :

$T(0) = C e^{0} + 20 = C + 20 = 90 \quad \Longrightarrow \quad C = 70$

La solution est :

$T(t) = 70e^{-0{,}1t} + 20$

Question : quelle est la température au bout de 10 minutes ?

$T(10) = 70e^{-0{,}1 \times 10} + 20 = 70e^{-1} + 20 \approx 25{,}75 + 20 \approx 45{,}8$

Interpréter le résultat dans le contexte

Écrire une phrase de réponse avec l'unité :

Au bout de 10 minutes, la boisson est à environ 45,8 °C.

On peut aussi vérifier que le résultat est cohérent : la boisson est partie de 90 °C et a refroidi, mais elle reste plus chaude que la pièce (20 °C), ce qui est normal.

3. Erreurs fréquentes

Remplacer incorrectement les valeurs

La condition $y(0) = 5$ signifie $x = 0$ et $y = 5$ . Ne pas inverser les deux.

Remplacer $x$ par 5 et $y$ par 0 donne une équation fausse, et donc une mauvaise valeur de $C$ .

Se tromper dans le calcul de $C$

Les erreurs viennent souvent d'un détail de calcul :

$e^0 = 1$ , et non 0 : dans $Ce^{2 \times 0}$ , le facteur vaut 1, donc l'expression devient $C$ ;
les signes : à partir de $C - 3 = 5$ , on ajoute 3 des deux côtés, donc $C = 8$ et non $C = 2$ .

Oublier de remplacer dans toute l'expression

Remplacer $x$ partout où il apparaît, y compris dans l'exposant.

Avec $y(x) = Ce^{3x}$ et la condition $y(1) = 2$ , il faut écrire $Ce^{3 \times 1} = 2$ , et non $Ce^{3x} = 2$ .