Comprendre ce qu'est une équation différentielle

Cette fiche explique ce qu'est une équation différentielle, ce que signifie « en être solution », et comment la relier à une situation concrète.

1. Définition

Équation dont l'inconnue est une fonction

Dans une équation ordinaire, comme $2x + 1 = 5$ , l'inconnue est un nombre : on cherche la valeur de $x$ .

Dans une équation différentielle, l'inconnue est une fonction, notée en général $y$ . L'équation relie cette fonction à sa dérivée $y'$ .

Exemple :

$y' = 2y$

Résoudre cette équation, c'est trouver toutes les fonctions $y$ dont la dérivée est égale au double de la fonction elle-même.

Rôle de la fonction et de sa dérivée

Dans l'équation $y' = 2y$ :

$y$ est la fonction inconnue : elle donne une valeur en chaque point $x$ ;
$y'$ est sa dérivée : elle donne la vitesse à laquelle $y$ varie, c'est-à-dire la pente de la courbe en chaque point.

L'équation impose donc un lien entre la valeur de la fonction et sa vitesse de variation autrement dit entre la fonction et sa dérivée, en chaque point $x$ . Pour $y' = 2y$ : en chaque point, la pente de la courbe vaut le double de la valeur de la fonction.

Reconnaître une équation différentielle

Une équation différentielle est une égalité qui lie une fonction $y$ et sa dérivée $y'$ .

$y' = 3y - 1$ : équation différentielle (elle contient $y$ et $y'$ ) ;
$y' = -0{,}5\,y$ : équation différentielle ;
$2x + 1 = 5$ : ce n'est pas une équation différentielle, l'inconnue est un nombre ;
$y^2 = 4$ : ce n'est pas une équation différentielle, car $y$ n'est pas lié à sa dérivée $y'$ .

2. Notion de solution et vérification

Définition d'une solution

Une fonction $f$ dérivable est solution d'une équation différentielle lorsque, en remplaçant $y$ par $f$ et $y'$ par $f'$ , l'égalité est vraie pour tout $x$ .

Vérifier qu'une fonction est solution

Procéder en trois temps :

Calculer la dérivée $f'$ de la fonction proposée.
Calculer l'autre côté de l'équation en remplaçant $y$ par $f$ .
Comparer : les deux résultats doivent être égaux pour tout $x$ .

Exemple : la fonction $f(x) = e^{2x}$ est-elle solution de $y' = 2y$ ?

On remplace $y$ par $f(x)$ et $y'$ par $f'(x)$ :

Dérivée : $f'(x) = 2e^{2x}$ .
Autre côté : $2f(x) = 2e^{2x}$ .
Comparaison : $f'(x) = 2f(x)$ pour tout $x$ . La fonction $f$ est solution.

Contre-exemple : $g(x) = x^2$ est-elle solution de $y' = 2y$ ?

Dérivée : $g'(x) = 2x$ .
Autre côté : $2g(x) = 2x^2$ .

Or l'égalité $2x = 2x^2$ n'est pas vraie pour tout réel $x$ : par exemple, pour $x = 3$ , on a $6 \neq 18$ . La fonction $g$ n'est donc pas solution.

Comprendre qu'il peut exister plusieurs solutions

Une équation différentielle n'a pas une seule solution, mais plusieurs. Pour $y' = 2y$ :

$f(x) = e^{2x}$ est solution (vu plus haut) ;
$f(x) = 3e^{2x}$ est aussi solution : $f'(x) = 6e^{2x} = 2 \times 3e^{2x} = 2f(x)$ ;
$f(x) = -e^{2x}$ aussi ;
la fonction nulle $f(x) = 0$ aussi : $0 = 2 \times 0$ .

Distinguer solution particulière et famille de solutions

Une solution particulière est une fonction solution de l'équation. Exemple : $e^{2x}$ .
Une famille de solutions est un ensemble de fonctions décrit par une seule expression, avec une constante $C$ qui peut prendre toutes les valeurs. Exemple : $y(x) = Ce^{2x}$ , avec $C$ réel.

Chaque valeur de $C$ donne une solution particulière : $C = 1$ donne $e^{2x}$ , $C = 3$ donne $3e^{2x}$ , et ainsi de suite.

3. Interprétation dans un problème

Ce que représente la fonction

Dans un problème, la fonction $y$ représente souvent une quantité qui évolue au cours du temps : le nombre de bactéries, la température d'un objet, la quantité de médicament dans le sang, un capital placé.

On la note alors $y(t)$ , où $t$ est le temps.

Ce que représente sa dérivée

La dérivée $y'(t)$ représente la vitesse de variation de la quantité à l'instant $t$ :

$y'(t) > 0$ : la quantité augmente ;
$y'(t) < 0$ : la quantité diminue ;
plus la valeur absolue $y'(t)$ est grand, plus la quantité varie vite.

Relier l'équation différentielle à l'évolution d'une quantité

L'équation différentielle traduit une règle : comment la vitesse de variation dépend de la quantité elle-même.

Exemple : le nombre de bactéries $y(t)$ , en milliers, au bout de $t$ heures vérifie :

$y'(t) = 0{,}5\,y(t)$

Lecture : la vitesse est proportionnelle au nombre de bactéries. Plus il y a de bactéries, plus la population augmente vite.

Autre exemple : la quantité $y(t)$ d'un médicament dans le sang vérifie :

$y'(t) = -0{,}2\,y(t)$ Comme $y(t) > 0$ , on a $y'(t) < 0$ : la quantité diminue. Plus la quantité de médicament présente dans le sang est importante, plus le médicament est éliminé rapidement.

4. Erreurs fréquentes

Confondre la fonction et sa dérivée dans l'équation différentielle

$y$ et $y'$ ne jouent pas le même rôle : l'équation $y' = 2y$ ne signifie pas $y = 2y$

Lors d'une vérification, on remplace $y'$ par la dérivée $f'$ et $y$ par la fonction $f$ .

Ne pas vérifier correctement qu'une fonction est solution

Ne pas oublier de calculer la dérivée. Comparer $f(x)$ et $2f(x)$ dans notre exemple ne vérifie rien : il faut comparer $f'(x)$ et $2f(x)$ .

Pour $f(x) = e^{2x}$ : calculer $f'(x) = 2e^{2x}$ , puis le comparer à $2f(x) = 2e^{2x}$ .

Confondre une solution particulière avec l'ensemble des solutions

Trouver une fonction qui marche ne veut pas dire avoir tout résolu.

Avoir vérifié que $e^{2x}$ est solution de $y' = 2y$ ne donne qu'une solution : l'ensemble des solutions est la famille $Ce^{2x}$ , avec $C$ réel.

Mal interpréter ce que représentent la fonction et sa dérivée dans un problème

Ne pas confondre la quantité $y(t)$ avec sa vitesse de variation $y'(t)$ .

Dire « $y'(2) = 3$ » signifie qu'à l'instant $t = 2$ , la quantité augmente de 3 unités par unité de temps. Cela ne veut pas dire que la quantité vaut 3.