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Niveau 2 — Probabilités — 30 min

La tombola de l'association

Une association organise une tombola avec $1\,000$ billets numérotés, vendus $2$ € chacun. Un billet est tiré au sort pour le gros lot de $500$ €, quatre autres billets gagnent $100$ € chacun, vingt autres gagnent $10$ € chacun, et les autres ne gagnent rien. Un joueur achète un billet. On note $X$ le montant gagné (sans retrancher le prix du billet) et $G$ son gain net.

Donner la loi de probabilité de $X$ .
Calculer $E(X)$ . En déduire $E(G)$ et interpréter.
Calculer la variance puis l'écart-type de $X$ (arrondir à $10^{-2}$ si nécessaire).
Calculer la probabilité qu'un joueur réalise un gain net positif.
Si tous les billets sont vendus, quel est le bénéfice de l'association ? Faire le lien avec l'espérance de $G$ .

Niveau 2 — Probabilités — 30 min

Corrigé — La tombola de l'association

Il y a $1\,000 - 25 = 975$ billets perdants :

$x_i$ $0$ $10$ $100$ $500$
$P(X=x_i)$ $0{,}975$ $0{,}02$ $0{,}004$ $0{,}001$
$E(X) = \sum x_i\,P(X=x_i) = 0 \times 0{,}975 + 10 \times 0{,}02 + 100 \times 0{,}004 + 500 \times 0{,}001 = 1{,}1$ .

Comme $G = X - 2$ , $E(G) = E(X) - 2 = 1{,}1 - 2 = -0{,}9$ €.

En moyenne, un joueur perd $0{,}90$ € par billet acheté.
$E(X^2) = 0^2 \times 0{,}975 + 10^2 \times 0{,}02 + 100^2 \times 0{,}004 + 500^2 \times 0{,}001 = 292$ .

D'après la formule de König-Huygens : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 292 - 1{,}1^2 = 290{,}79$ .

L'écart-type vaut $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} \approx 17{,}05$ .
$G > 0 \iff X > 2 \iff X \in \{10, 100, 500\}$ .

$P(G > 0) = 0{,}02 + 0{,}004 + 0{,}001 = 0{,}025$ .
Recette : $1\,000 \times 2 = 2\,000$ €. Lots distribués : $500 + 4 \times 100 + 20 \times 10 = 1\,100$ €. Bénéfice : $2\,000 - 1\,100 = 900$ €.

C'est exactement $1\,000 \times 0{,}9$ : si l'espérance du gain net d'un joueur est $-0{,}9$ €, l'association gagne en moyenne $0{,}90$ € par billet. Ici, comme tous les billets sont vendus, ce bénéfice est certain.