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Niveau 2 — Probabilités — 30 min

L'atelier de réparation

Dans un atelier, le nombre $X$ de véhicules réparés par jour suit la loi suivante : $P(X=0) = 0{,}05$ , $P(X=1) = 0{,}15$ , $P(X=2) = 0{,}3$ , $P(X=3) = 0{,}3$ et $P(X=4) = 0{,}2$ . Chaque réparation est facturée $120$ € et les frais fixes de l'atelier sont de $150$ € par jour. On note $B$ le bénéfice journalier.

Vérifier que la loi de $X$ est correcte et calculer $E(X)$ .
Exprimer $B$ en fonction de $X$ et calculer $E(B)$ .
Calculer l'écart-type de $B$ (arrondir à l'euro).
Calculer la probabilité que l'atelier soit déficitaire un jour donné ( $B < 0$ ).
L'atelier veut relever le tarif de réparation à $t$ euros pour obtenir un bénéfice moyen d'au moins $250$ € par jour. Quel tarif minimal (arrondi au centime supérieur) doit-il pratiquer ?

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Corrigé — L'atelier de réparation

$0{,}05 + 0{,}15 + 0{,}3 + 0{,}3 + 0{,}2 = 1$ .

$E(X) = \sum x_i\,P(X=x_i) = 0 \times 0{,}05 + 1 \times 0{,}15 + 2 \times 0{,}3 + 3 \times 0{,}3 + 4 \times 0{,}2 = 2{,}45$ .
$B = 120X - 150$ donc $E(B) = 120E(X) - 150 = 120 \times 2{,}45 - 150 = 144$ €.
$V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 1{,}2475$ donc $\sigma(X) \approx 1{,}117$ et $\sigma(B) = 120\,\sigma(X) \approx 134$ €.
$B < 0 \iff 120X < 150 \iff X < 1{,}25 \iff X \leq 1$ .

Donc $P(B < 0) = P(X=0) + P(X=1) = 0{,}05 + 0{,}15 = 0{,}2$ .
$E(B) = t \times 2{,}45 - 150 \geq 250 \iff t \geq \dfrac{400}{2{,}45} \approx 163{,}265$ .

Le tarif minimal est de 163,27 €.