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Niveau 2 — Probabilités — 25 min

La loterie à deux étapes

Une loterie se joue en deux étapes. On lance d'abord une pièce équilibrée. Si on obtient pile, on tire une boule dans l'urne $U_1$ , qui contient $1$ boule gagnante sur $4$ , et le gain est de $8$ € si la boule est gagnante. Si on obtient face, on tire une boule dans l'urne $U_2$ , qui contient $1$ boule gagnante sur $2$ , et le gain est de $4$ € si la boule est gagnante. Sinon le gain est nul. On note $X$ le gain en euros.

Représenter la situation par un arbre pondéré et donner les valeurs possibles de $X$ .
Déterminer la loi de probabilité de $X$ .
Calculer l'espérance de $X$ .
Calculer la variance puis l'écart-type de $X$ (arrondir à $10^{-2}$ si nécessaire).
Une partie coûte $2{,}50$ €. Un joueur fait $40$ parties. Quel est son gain net total espéré ? Que peut-on en conclure ?

Niveau 2 — Probabilités — 25 min

Corrigé — La loterie à deux étapes

L'arbre a deux niveaux : pile ( $\frac12$ ) puis boule gagnante ( $\frac14$ ) ou perdante ( $\frac34$ ) ; face ( $\frac12$ ) puis boule gagnante ( $\frac12$ ) ou perdante ( $\frac12$ ). Les gains possibles sont $0$ , $4$ et $8$ .
$P(X=8) = \dfrac12 \times \dfrac14 = \dfrac18$ et $P(X=4) = \dfrac12 \times \dfrac12 = \dfrac14$ .

$P(X=0) = \dfrac12 \times \dfrac34 + \dfrac12 \times \dfrac12 = \dfrac38 + \dfrac28 = \dfrac58$ .

Vérification : $\dfrac58 + \dfrac14 + \dfrac18 = 1$ .

$x_i$ $0$ $4$ $8$
$P(X=x_i)$ $0{,}625$ $0{,}25$ $0{,}125$
$E(X) = \sum x_i\,P(X=x_i) = 0 \times 0{,}625 + 4 \times 0{,}25 + 8 \times 0{,}125 = 2$ .

En moyenne, la loterie rapporte $2$ € par partie.
$E(X^2) = 0^2 \times 0{,}625 + 4^2 \times 0{,}25 + 8^2 \times 0{,}125 = 12$ .

D'après la formule de König-Huygens : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 12 - 2^2 = 8$ .

L'écart-type vaut $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} \approx 2{,}83$ .
Le gain net par partie est $X - 2{,}5$ , d'espérance $2 - 2{,}5 = -0{,}5$ €.

Sur $40$ parties indépendantes, l'espérance du gain net total est $40 \times (-0{,}5) = -20$ €.

Le joueur perd en moyenne $20$ € sur $40$ parties : le jeu est défavorable au joueur.