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Niveau 2 — Probabilités — 25 min

Les pannes de la semaine

Un technicien intervient sur des machines. Le nombre $X$ de pannes par semaine suit la loi suivante : $P(X=0) = 0{,}4$ , $P(X=1) = 0{,}35$ , $P(X=2) = 0{,}15$ et $P(X=3) = 0{,}1$ . Chaque panne coûte $80$ € de réparation, et la maintenance préventive coûte $30$ € par semaine. On note $Y$ le coût total hebdomadaire.

Vérifier que cette loi est bien une loi de probabilité, puis calculer $E(X)$ .
Calculer la variance puis l'écart-type de $X$ (arrondir à $10^{-3}$ si nécessaire).
Exprimer $Y$ en fonction de $X$ , puis calculer $E(Y)$ .
Calculer $\sigma(Y)$ en utilisant $\sigma(X)$ (arrondir à l'euro).
Calculer la probabilité que le coût hebdomadaire dépasse $100$ €.

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Corrigé — Les pannes de la semaine

$0{,}4 + 0{,}35 + 0{,}15 + 0{,}1 = 1$ : c'est bien une loi de probabilité.

$E(X) = \sum x_i\,P(X=x_i) = 0 \times 0{,}4 + 1 \times 0{,}35 + 2 \times 0{,}15 + 3 \times 0{,}1 = 0{,}95$ .
$E(X^2) = 0^2 \times 0{,}4 + 1^2 \times 0{,}35 + 2^2 \times 0{,}15 + 3^2 \times 0{,}1 = 1{,}85$ .

D'après la formule de König-Huygens : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 1{,}85 - 0{,}95^2 = 0{,}9475$ .

L'écart-type vaut $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} \approx 0{,}973$ .
$Y = 80X + 30$ donc $E(Y) = 80E(X) + 30 = 80 \times 0{,}95 + 30 = 106$ €.
$\sigma(Y) = 80\,\sigma(X) \approx 80 \times 0{,}973 \approx 78$ €.
$Y > 100 \iff 80X + 30 > 100 \iff X > 0{,}875 \iff X \geq 1$ .

Donc $P(Y > 100) = 1 - P(X=0) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$ .