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Niveau 2 — Probabilités — 25 min

Les probabilités inconnues

Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $0$ , $1$ , $2$ et $3$ avec les probabilités $P(X=0) = 0{,}1$ , $P(X=1) = a$ , $P(X=2) = b$ et $P(X=3) = 0{,}2$ , où $a$ et $b$ sont deux réels. On sait que $E(X) = 1{,}7$ .

Écrire une équation reliant $a$ et $b$ à partir de la somme des probabilités.
Écrire une seconde équation à partir de l'espérance.
En déduire les valeurs de $a$ et de $b$ .
Calculer la variance puis l'écart-type de $X$ (arrondir à $10^{-3}$ si nécessaire).
On pose $Y = 2X + 1$ . Calculer $E(Y)$ et $\sigma(Y)$ à l'aide de $E(X)$ et $\sigma(X)$ , puis vérifier $E(Y)$ en dressant la loi de $Y$ .

Niveau 2 — Probabilités — 25 min

Corrigé — Les probabilités inconnues

La somme des probabilités vaut $1$ : $0{,}1 + a + b + 0{,}2 = 1$ , soit $a + b = 0{,}7$ .
$E(X) = 0 \times 0{,}1 + 1 \times a + 2b + 3 \times 0{,}2 = a + 2b + 0{,}6 = 1{,}7$ , soit $a + 2b = 1{,}1$ .
En soustrayant : $(a + 2b) - (a + b) = 1{,}1 - 0{,}7$ , donc $b = 0{,}4$ puis $a = 0{,}7 - 0{,}4 = 0{,}3$ .
$E(X^2) = 0^2 \times 0{,}1 + 1^2 \times 0{,}3 + 2^2 \times 0{,}4 + 3^2 \times 0{,}2 = 3{,}7$ .

D'après la formule de König-Huygens : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 3{,}7 - 1{,}7^2 = 0{,}81$ .

L'écart-type vaut $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} \approx 0{,}900$ .
$E(Y) = 2E(X) + 1 = 2 \times 1{,}7 + 1 = 4{,}4$ et $\sigma(Y) = 2\sigma(X) \approx 2 \times 0{,}900 = 1{,}800$ .

Vérification : $Y$ prend les valeurs $1$ , $3$ , $5$ et $7$ avec les probabilités $0{,}1$ , $0{,}3$ , $0{,}4$ et $0{,}2$ , donc $E(Y) = 0{,}1 + 0{,}9 + 2 + 1{,}4 = 4{,}4$ .