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Niveau 1 — Probabilités — 15 min

Le jeu de dé

Un joueur lance un dé équilibré à six faces. S'il obtient $6$ , il gagne $3$ €. S'il obtient $4$ ou $5$ , il gagne $1$ €. Dans les autres cas, il perd $2$ €. On note $X$ le gain algébrique du joueur (négatif s'il perd de l'argent).

Quelles valeurs $X$ peut-elle prendre ?
Déterminer la loi de probabilité de $X$ .
Calculer la probabilité que le joueur gagne de l'argent.
Calculer l'espérance de $X$ et interpréter ce résultat.
Calculer la variance puis l'écart-type de $X$ (arrondir à $10^{-3}$ si nécessaire).

Niveau 1 — Probabilités — 15 min

Corrigé — Le jeu de dé

$X$ peut prendre les valeurs $-2$ , $1$ et $3$ .
$X=3$ pour la face $6$ ; $X=1$ pour les faces $4$ et $5$ ; $X=-2$ pour les faces $1$ , $2$ et $3$ :

$x_i$ $-2$ $1$ $3$
$P(X=x_i)$ $0{,}5$ $\dfrac{1}{3}$ $\dfrac{1}{6}$
$P(X > 0) = P(X=1) + P(X=3) = \dfrac26 + \dfrac16 = \dfrac12$ .
$E(X) = \sum x_i\,P(X=x_i) = (-2) \times 0{,}5 + 1 \times \dfrac{1}{3} + 3 \times \dfrac{1}{6} = -\dfrac{1}{6}$ .

Sur un grand nombre de parties, le joueur perd en moyenne $\dfrac16 \approx 0{,}17$ € par partie : le jeu lui est défavorable.
$E(X^2) = (-2)^2 \times 0{,}5 + 1^2 \times \dfrac{1}{3} + 3^2 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{23}{6}$ .

D'après la formule de König-Huygens : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = \dfrac{23}{6} - \left(-\dfrac{1}{6}\right)^2 = \dfrac{137}{36}$ .

L'écart-type vaut $\sigma(X) = \sqrt{V(X)} \approx 1{,}951$ .