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Niveau 2 — Suites — 30 min

Le refroidissement d'un café

Un café à $90\ °\text{C}$ est posé dans une pièce à $20\ °\text{C}$ . Chaque minute, sa température diminue de $8\ \%$ de l'écart entre sa température et celle de la pièce. On note $T_n$ la température du café, en degrés Celsius, au bout de $n$ minutes : $T_0 = 90$ .

Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , $T_{n+1} = T_n - 0{,}08\,(T_n - 20)$ , puis que $T_{n+1} = 0{,}92\,T_n + 1{,}6$ . Calculer $T_1$ et $T_2$ .
On pose $v_n = T_n - 20$ . Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}92$ et préciser son premier terme.
Exprimer $T_n$ en fonction de $n$ .
Déterminer la limite de $(T_n)$ et l'interpréter.
On peut boire le café dès que sa température est inférieure ou égale à $45\ °\text{C}$ . Au bout de combien de minutes ?
Le café peut-il atteindre $15\ °\text{C}$ ? Justifier.

Niveau 2 — Suites — 30 min

Corrigé — Le refroidissement d'un café

L'écart est $T_n - 20$ et le café en perd $8\ \%$ , soit $0{,}08\,(T_n - 20)$ : $T_{n+1} = T_n - 0{,}08\,(T_n - 20)$ .

En développant : $T_{n+1} = T_n - 0{,}08\,T_n + 1{,}6 = 0{,}92\,T_n + 1{,}6$ .

$T_1 = 0{,}92 \times 90 + 1{,}6 = 84{,}4$ et $T_2 = 0{,}92 \times 84{,}4 + 1{,}6 = 79{,}248$ .
$v_{n+1} = T_{n+1} - 20 = 0{,}92\,T_n + 1{,}6 - 20 = 0{,}92\,T_n - 18{,}4 = 0{,}92\,(T_n - 20) = 0{,}92\,v_n$ .

La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}92$ et de premier terme $v_0 = 90 - 20 = 70$ .
$v_n = 70 \times 0{,}92^n$ donc $T_n = 20 + 70 \times 0{,}92^n$ .
$v_n = 70 \times 0{,}92^n$ donc $T_n = 20 + 70 \times 0{,}92^n$ .

Comme $-1 < 0{,}92 < 1$ , $0{,}92^n \to 0$ donc $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} T_n = 20$ . À long terme, le café atteint la température de la pièce.
$T_n \leq 45 \iff 70 \times 0{,}92^n \leq 25 \iff 0{,}92^n \leq \dfrac{25}{70} \approx 0{,}357$ .

On calcule : $T_{12} \approx 45{,}74 > 45$ et $T_{13} \approx 43{,}68 \leq 45$ .

Il faut attendre 13 minutes.
Non. Pour tout $n$ , $0{,}92^n > 0$ donc $T_n = 20 + 70 \times 0{,}92^n > 20$ . Le café reste toujours strictement au-dessus de la température de la pièce, donc il ne peut pas atteindre $15\ °\text{C}$ .