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Niveau 2 — Suites — 30 min

Un plan d'épargne

Chaque début d'année, Samir place de l'argent sur un livret dont le taux d'intérêt est de $2\ \%$ par an. Il a $1\,000$ € sur son livret au début de l'année 0. Chaque année, les intérêts de l'année s'ajoutent au capital, puis il verse $500$ € supplémentaires. On note $S_n$ la somme disponible, en euros, après $n$ années : $S_0 = 1\,000$ .

Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , $S_{n+1} = 1{,}02\,S_n + 500$ . Calculer $S_1$ et $S_2$ .
On pose $v_n = S_n + 25\,000$ . Démontrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $1{,}02$ et préciser son premier terme.
Exprimer $S_n$ en fonction de $n$ .
Samir veut disposer d'au moins $5\,000$ €. Déterminer au bout de combien d'années cet objectif est atteint.
On souhaite retrouver ce résultat avec Python. Compléter la fonction ci-dessous pour qu'elle renvoie le nombre d'années nécessaires pour atteindre la somme objectif.
```
def seuil(objectif):
    n = 0
    S = 1000
    while ...... :
        S = ......
        n = n + 1
    return n
```
Compléter la condition de la boucle while.
Compléter la ligne S = ...... de la boucle. Que renvoie seuil(5000) ?

Niveau 2 — Suites — 30 min

Corrigé — Un plan d'épargne

Les intérêts multiplient la somme par $1{,}02$ , puis on ajoute $500$ : $S_{n+1} = 1{,}02\,S_n + 500$ .

$S_1 = 1{,}02 \times 1\,000 + 500 = 1\,520$ et $S_2 = 1{,}02 \times 1\,520 + 500 = 2\,050{,}4$ .
$v_{n+1} = S_{n+1} + 25\,000 = 1{,}02\,S_n + 500 + 25\,000 = 1{,}02\,S_n + 25\,500 = 1{,}02\,(S_n + 25\,000) = 1{,}02\,v_n$ .

La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $1{,}02$ et de premier terme $v_0 = 1\,000 + 25\,000 = 26\,000$ .
$v_n = 26\,000 \times 1{,}02^n$ donc $S_n = 26\,000 \times 1{,}02^n - 25\,000$ .

Contrôle : $S_1 = 26\,520 - 25\,000 = 1\,520$ .
$S_n \geq 5\,000 \iff 26\,000 \times 1{,}02^n \geq 30\,000 \iff 1{,}02^n \geq \dfrac{30}{26} \approx 1{,}1538$ .

On calcule : $S_{7} \approx 4\,865{,}83 < 5\,000$ et $S_{8} \approx 5\,463{,}14 \geq 5\,000$ .

L'objectif est atteint au bout de 8 ans.
La boucle doit continuer tant que l'objectif n'est pas atteint, c'est-à-dire tant que S < objectif.
```
def seuil(objectif):
    n = 0
    S = 1000
    while S < objectif:
        S = 1.02 * S + 500
        n = n + 1
    return n
```
La boucle continue tant que S < objectif, et chaque tour calcule la somme de l'année suivante. seuil(5000) renvoie 8, comme à la question 4.