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Niveau 2 — Suites — 30 min

La gestion d'un stock de poissons

Dans une zone de pêche, le stock de poissons est estimé à 500500 tonnes au début de l'année 0. Sans pêche, ce stock augmenterait de 5 %5\ \% chaque année. Chaque année, après cette croissance, les pêcheurs prélèvent 3030 tonnes. On note PnP_n le stock, en tonnes, au début de l'année nn : P0=500P_0 = 500.

  1. Justifier que, pour tout entier naturel nn, Pn+1=1,05 Pn−30P_{n+1} = 1{,}05\,P_n - 30. Calculer P1P_1 et P2P_2.

  2. On pose vn=Pn−600v_n = P_n - 600. Démontrer que (vn)(v_n) est géométrique de raison 1,051{,}05 et préciser son premier terme.

  3. Exprimer PnP_n en fonction de nn.

  4. En déduire le sens de variation de (Pn)(P_n) et l'interpréter.

  5. Le stock est considéré comme en danger dès qu'il passe sous 100100 tonnes. À partir de quelle année cela se produit-il ?

  6. Quelle pêche annuelle xx (en tonnes) faudrait-il pour que le stock reste constant, égal à 500500 tonnes ? Justifier.

Niveau 2 — Suites — 30 min

Corrigé — La gestion d'un stock de poissons

  1. Après croissance, le stock vaut 1,05 Pn1{,}05\,P_n ; on retire 3030 tonnes : Pn+1=1,05 Pn−30P_{n+1} = 1{,}05\,P_n - 30.

    P1=1,05×500−30=495P_1 = 1{,}05 \times 500 - 30 = 495 et P2=1,05×495−30=489,75P_2 = 1{,}05 \times 495 - 30 = 489{,}75.

  2. vn+1=Pn+1−600=1,05 Pn−30−600=1,05 Pn−630=1,05 (Pn−600)=1,05 vnv_{n+1} = P_{n+1} - 600 = 1{,}05\,P_n - 30 - 600 = 1{,}05\,P_n - 630 = 1{,}05\,(P_n - 600) = 1{,}05\,v_n.

    Donc (vn)(v_n) est géométrique de raison 1,051{,}05 et de premier terme v0=500−600=−100v_0 = 500 - 600 = -100.

  3. vn=−100×1,05nv_n = -100 \times 1{,}05^n donc Pn=600−100×1,05nP_n = 600 - 100 \times 1{,}05^n.

  4. Comme 1,05>11{,}05 > 1, la suite (1,05n)(1{,}05^n) est croissante, donc (Pn)(P_n) est décroissante : avec cette pêche, le stock diminue d'année en année.

  5. Pn<100  ⟺  100×1,05n>500  ⟺  1,05n>5P_n < 100 \iff 100 \times 1{,}05^n > 500 \iff 1{,}05^n > 5.

    On calcule : 1,0532≈4,765<51{,}05^{32} \approx 4{,}765 < 5 et 1,0533≈5,003>51{,}05^{33} \approx 5{,}003 > 5. Le stock devient donc inférieur à 100100 tonnes à partir de l'année 33.

  6. Avec une pêche de xx tonnes, Pn+1=1,05 Pn−xP_{n+1} = 1{,}05\,P_n - x. Le stock reste constant si 500=1,05×500−x500 = 1{,}05 \times 500 - x, soit x=525−500=25x = 525 - 500 = 25.

    Une pêche de 2525 tonnes par an maintient le stock à 500500 tonnes.