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Le remboursement d'un prêt

Léa emprunte $10\,000$ € pour acheter une voiture. Le prêt est remboursé par des mensualités constantes de $300$ €, versées à la fin de chaque mois. Chaque mois, avant le versement, le capital restant dû augmente de $0{,}5\ \%$ (intérêts). On note $C_n$ le capital restant dû, en euros, juste après le versement de la $n$ -ième mensualité, donc $C_0 = 10\,000$ .

Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , $C_{n+1} = 1{,}005\,C_n - 300$ . Calculer $C_1$ et $C_2$ .
On pose, pour tout entier naturel $n$ , $v_n = C_n - 60\,000$ . Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
Exprimer $v_n$ puis $C_n$ en fonction de $n$ .
Léa a remboursé son prêt dès que $C_n \leq 0$ . Déterminer le nombre de mensualités nécessaires.
Quel est le capital restant dû après $24$ mensualités ? Arrondir à l'euro.

Niveau 2 — Suites — 30 min

Corrigé — Le remboursement d'un prêt

Le capital augmente de $0{,}5\ \%$ : on le multiplie par $1{,}005$ , puis on retire la mensualité de $300$ € : $C_{n+1} = 1{,}005\,C_n - 300$ .

$C_1 = 1{,}005 \times 10\,000 - 300 = 9\,750$ et $C_2 = 1{,}005 \times 9\,750 - 300 = 9\,498{,}75$ .
$v_{n+1} = C_{n+1} - 60\,000 = 1{,}005\,C_n - 300 - 60\,000 = 1{,}005\,C_n - 60\,300 = 1{,}005\,(C_n - 60\,000) = 1{,}005\,v_n$ .

La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $1{,}005$ et de premier terme $v_0 = 10\,000 - 60\,000 = -50\,000$ .
$v_n = -50\,000 \times 1{,}005^n$ , donc $C_n = 60\,000 - 50\,000 \times 1{,}005^n$ .

Contrôle : $C_1 = 60\,000 - 50\,250 = 9\,750$ .
$C_n \leq 0 \iff 50\,000 \times 1{,}005^n \geq 60\,000 \iff 1{,}005^n \geq 1{,}2$ .

On calcule : $1{,}005^{36} \approx 1{,}1967 < 1{,}2$ et $1{,}005^{37} \approx 1{,}2027 \geq 1{,}2$ .

Il faut donc 37 mensualités (la dernière est en réalité inférieure à $300$ €, car $C_{37}$ est négatif).
$C_{24} = 60\,000 - 50\,000 \times 1{,}005^{24} \approx 3\,642$ €.