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Les membres d'un club en ligne

Un club de lecture en ligne compte $1\,000$ membres au 1er janvier. Chaque mois, $10\ \%$ des membres se désinscrivent, puis $200$ nouvelles personnes rejoignent le club. On note $u_n$ le nombre de membres au bout de $n$ mois, donc $u_0 = 1\,000$ . On admet que $u_n$ peut ne pas être un entier.

Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = 0{,}9\,u_n + 200$ . Calculer $u_1$ et $u_2$ .
On pose, pour tout entier naturel $n$ , $v_n = u_n - 2\,000$ . Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
Exprimer $v_n$ , puis $u_n$ , en fonction de $n$ .
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ et interpréter ce résultat dans le contexte du problème.
Au bout de combien de mois le club compte-t-il pour la première fois au moins $1\,900$ membres ?

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Corrigé — Les membres d'un club en ligne

Chaque mois, il reste $100\ \% - 10\ \% = 90\ \%$ des membres, soit $0{,}9\,u_n$ , puis on ajoute $200$ membres : $u_{n+1} = 0{,}9\,u_n + 200$ .

$u_1 = 0{,}9 \times 1\,000 + 200 = 1\,100$ et $u_2 = 0{,}9 \times 1\,100 + 200 = 1\,190$ .
$v_{n+1} = u_{n+1} - 2\,000 = 0{,}9\,u_n + 200 - 2\,000 = 0{,}9\,u_n - 1\,800 = 0{,}9\,(u_n - 2\,000) = 0{,}9\,v_n$ .

La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}9$ et de premier terme $v_0 = 1\,000 - 2\,000 = -1\,000$ .
$v_n = -1\,000 \times 0{,}9^n$ , donc $u_n = 2\,000 - 1\,000 \times 0{,}9^n$ .

Contrôle : $u_1 = 2\,000 - 900 = 1\,100$ .
Comme $-1 < 0{,}9 < 1$ , $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} 0{,}9^n = 0$ , donc $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 2\,000$ .

À long terme, le nombre de membres se rapproche de $2\,000$ sans dépasser cette valeur : les départs compensent les arrivées.
$u_n \geq 1\,900 \iff 1\,000 \times 0{,}9^n \leq 100 \iff 0{,}9^n \leq 0{,}1$ .

On calcule : $u_{21} \approx 1\,890{,}6 < 1\,900$ et $u_{22} \approx 1\,901{,}5 \geq 1\,900$ .

La suite $(u_n)$ est croissante (car $0{,}9^n$ diminue quand $n$ augmente), donc c'est au bout de 22 mois que le club atteint au moins $1\,900$ membres.