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Niveau 2 — Primitives — 20 min

Vérifier une primitive — série 4

Dans chaque question, dire si FF est une primitive de ff en la dérivant ; la dernière question demande de décider, et de justifier, si c'est le cas.

  1. Soit ff et FF les fonctions définies sur R\mathbb{R} par f(x)=xcos⁡xf(x) = x\cos x et F(x)=xsin⁡x+cos⁡xF(x) = x\sin x+\cos x. Montrer que FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  2. Soit ff et FF les fonctions définies sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par f(x)=(x−1) exx2f(x) = \dfrac{(x-1)\,e^{x}}{x^2} et F(x)=exxF(x) = \dfrac{e^{x}}{x}. Montrer que FF est une primitive de ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

  3. Soit ff et FF les fonctions définies sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par f(x)=xln⁡xf(x) = x\ln x et F(x)=x22ln⁡x−x24F(x) = \dfrac{x^2}{2}\ln x-\dfrac{x^2}{4}. Montrer que FF est une primitive de ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

  4. Soit ff et FF les fonctions définies sur R\mathbb{R} par f(x)=cos⁡2x−sin⁡2xf(x) = \cos^2x-\sin^2x et F(x)=sin⁡xcos⁡xF(x) = \sin x\cos x. Montrer que FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  5. Soit ff et FF les fonctions définies sur R\mathbb{R} par f(x)=cos⁡(2x)f(x) = \cos(2x) et F(x)=12sin⁡(2x)+1F(x) = \dfrac12\sin(2x)+1. FF est-elle une primitive de ff sur R\mathbb{R} ? Justifier.

  6. Conclure.

Niveau 2 — Primitives — 20 min

Corrigé — Vérifier une primitive — série 4

  1. FF est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xx de R\mathbb{R} :

    Produit uvuv avec u(x)=xu(x)=x, v(x)=sin⁡xv(x)=\sin x : F′(x)=sin⁡x+xcos⁡x−sin⁡x=xcos⁡x=f(x)F'(x) = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur R\mathbb{R} : FF est bien une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  2. FF est dérivable sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ et, pour tout xx de ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ :

    Quotient uv\dfrac uv avec u(x)=exu(x)=e^x, v(x)=xv(x)=x :

    F′(x)=ex×x−ex×1x2=(x−1)exx2=f(x)F'(x) = \dfrac{e^x\times x-e^x\times1}{x^2} = \dfrac{(x-1)e^x}{x^2} = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ : FF est bien une primitive de ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

  3. FF est dérivable sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ et, pour tout xx de ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ :

    Produit uvuv avec u(x)=x22u(x)=\dfrac{x^2}{2}, v(x)=ln⁡xv(x)=\ln x :

    F′(x)=xln⁡x+x22×1x−2x4=xln⁡x+x2−x2=xln⁡x=f(x)F'(x) = x\ln x + \dfrac{x^2}{2}\times\dfrac1x - \dfrac{2x}{4} = x\ln x + \dfrac x2 - \dfrac x2 = x\ln x = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ : FF est bien une primitive de ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

  4. FF est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xx de R\mathbb{R} :

    Produit uvuv avec u(x)=sin⁡xu(x)=\sin x, v(x)=cos⁡xv(x)=\cos x : F′(x)=cos⁡xcos⁡x+sin⁡x×(−sin⁡x)=cos⁡2x−sin⁡2x=f(x)F'(x) = \cos x\cos x + \sin x\times(-\sin x) = \cos^2x-\sin^2x = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur R\mathbb{R} : FF est bien une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  5. F′(x)=12×2cos⁡(2x)+0=cos⁡(2x)F'(x) = \dfrac12\times2\cos(2x) + 0 = \cos(2x).

    On obtient F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur R\mathbb{R} : oui, FF est une primitive de ff.

  6. F′(x)=12×2cos⁡(2x)+0=cos⁡(2x)F'(x) = \dfrac12\times2\cos(2x) + 0 = \cos(2x).

    On obtient F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur R\mathbb{R} : oui, FF est une primitive de ff.