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Niveau 2 — Primitives — 20 min

Vérifier une primitive — série 3

Dans chaque question, dire si FF est une primitive de ff en la dérivant ; la dernière question demande de décider, et de justifier, si c'est le cas.

  1. Soit ff et FF les fonctions définies sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x et F(x)=xln⁡x−xF(x) = x\ln x-x. Montrer que FF est une primitive de ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

  2. Soit ff et FF les fonctions définies sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par f(x)=1−ln⁡xx2f(x) = \dfrac{1-\ln x}{x^2} et F(x)=ln⁡xxF(x) = \dfrac{\ln x}{x}. Montrer que FF est une primitive de ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

  3. Soit ff et FF les fonctions définies sur R\mathbb{R} par f(x)=xx2+1f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} et F(x)=x2+1F(x) = \sqrt{x^2+1}. Montrer que FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  4. Soit ff et FF les fonctions définies sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par f(x)=x2ln⁡x+x23f(x) = x^2\ln x+\dfrac{x^2}{3} et F(x)=x33ln⁡xF(x) = \dfrac{x^3}{3}\ln x. Montrer que FF est une primitive de ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

  5. Soit ff et FF les fonctions définies sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par f(x)=1x2f(x) = \dfrac{1}{x^2} et F(x)=1xF(x) = \dfrac{1}{x}. FF est-elle une primitive de ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ ? Justifier.

  6. Conclure.

Niveau 2 — Primitives — 20 min

Corrigé — Vérifier une primitive — série 3

  1. FF est dérivable sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ et, pour tout xx de ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ :

    Produit uvuv avec u(x)=xu(x)=x, v(x)=ln⁡xv(x)=\ln x : F′(x)=1×ln⁡x+x×1x−1=ln⁡x+1−1=ln⁡x=f(x)F'(x) = 1\times\ln x + x\times\dfrac1x - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ : FF est bien une primitive de ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

  2. FF est dérivable sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ et, pour tout xx de ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ :

    Quotient uv\dfrac uv avec u(x)=ln⁡xu(x)=\ln x, u′(x)=1xu'(x)=\dfrac1x, v(x)=xv(x)=x, v′(x)=1v'(x)=1 :

    F′(x)=1x×x−ln⁡x×1x2=1−ln⁡xx2=f(x)F'(x) = \dfrac{\frac1x\times x-\ln x\times1}{x^2} = \dfrac{1-\ln x}{x^2} = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ : FF est bien une primitive de ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

  3. FF est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xx de R\mathbb{R} :

    On dérive u\sqrt u avec u(x)=x2+1>0u(x)=x^2+1>0, u′(x)=2xu'(x)=2x : F′(x)=u′2u=2x2x2+1=xx2+1=f(x)F'(x) = \dfrac{u'}{2\sqrt u} = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur R\mathbb{R} : FF est bien une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  4. FF est dérivable sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ et, pour tout xx de ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ :

    Produit uvuv avec u(x)=x33u(x)=\dfrac{x^3}{3}, v(x)=ln⁡xv(x)=\ln x : F′(x)=x2ln⁡x+x33×1x=x2ln⁡x+x23=f(x)F'(x) = x^2\ln x + \dfrac{x^3}{3}\times\dfrac1x = x^2\ln x + \dfrac{x^2}{3} = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ : FF est bien une primitive de ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

  5. F′(x)=−1x2F'(x) = -\dfrac{1}{x^2}.

    On n'obtient pas f(x)f(x) : non, FF n'est pas une primitive de ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[. Il y a une erreur de signe : la bonne primitive est x↦−1xx\mapsto-\dfrac1x.

  6. F′(x)=−1x2F'(x) = -\dfrac{1}{x^2}.

    On n'obtient pas f(x)f(x) : non, FF n'est pas une primitive de ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[. Il y a une erreur de signe : la bonne primitive est x↦−1xx\mapsto-\dfrac1x.