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Niveau 1 — Primitives — 15 min

Vérifier une primitive — série 3

Dans chaque question, vérifier que la fonction FF proposée est une primitive de ff en la dérivant.

  1. Soit ff et FF les fonctions définies sur R\mathbb{R} par f(x)=(x+1)2f(x) = (x+1)^2 et F(x)=(x+1)33F(x) = \dfrac{(x+1)^3}{3}. Montrer que FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  2. Soit ff et FF les fonctions définies sur R\mathbb{R} par f(x)=−3e−xf(x) = -3e^{-x} et F(x)=3e−xF(x) = 3e^{-x}. Montrer que FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  3. Soit ff et FF les fonctions définies sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} et F(x)=2xF(x) = 2\sqrt{x}. Montrer que FF est une primitive de ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

  4. Soit ff et FF les fonctions définies sur R\mathbb{R} par f(x)=3sin⁡(3x)f(x) = 3\sin(3x) et F(x)=−cos⁡(3x)F(x) = -\cos(3x). Montrer que FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  5. Soit ff et FF les fonctions définies sur R\mathbb{R} par f(x)=(2x+1)2f(x) = (2x+1)^2 et F(x)=(2x+1)36F(x) = \dfrac{(2x+1)^3}{6}. Montrer que FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

Niveau 1 — Primitives — 15 min

Corrigé — Vérifier une primitive — série 3

  1. FF est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xx de R\mathbb{R} :

    On dérive u33\dfrac{u^3}{3} avec u(x)=x+1u(x)=x+1 et u′(x)=1u'(x)=1 : F′(x)=3u2u′3=(x+1)2=f(x)F'(x) = \dfrac{3u^2u'}{3} = (x+1)^2 = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur R\mathbb{R} : FF est bien une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  2. FF est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xx de R\mathbb{R} :

    On dérive 3eu3e^{u} avec u(x)=−xu(x)=-x, u′(x)=−1u'(x)=-1 : F′(x)=3×(−1)e−x=−3e−x=f(x)F'(x) = 3\times(-1)e^{-x} = -3e^{-x} = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur R\mathbb{R} : FF est bien une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  3. FF est dérivable sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ et, pour tout xx de ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ :

    F′(x)=2×12x=1x=f(x)F'(x) = 2\times\dfrac{1}{2\sqrt x} = \dfrac{1}{\sqrt x} = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ : FF est bien une primitive de ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

  4. FF est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xx de R\mathbb{R} :

    F′(x)=−(−3sin⁡(3x))=3sin⁡(3x)=f(x)F'(x) = -\big(-3\sin(3x)\big) = 3\sin(3x) = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur R\mathbb{R} : FF est bien une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  5. FF est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xx de R\mathbb{R} :

    On dérive u36\dfrac{u^3}{6} avec u(x)=2x+1u(x)=2x+1, u′(x)=2u'(x)=2 : F′(x)=3u2u′6=3(2x+1)2×26=(2x+1)2=f(x)F'(x) = \dfrac{3u^2u'}{6} = \dfrac{3(2x+1)^2\times2}{6} = (2x+1)^2 = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur R\mathbb{R} : FF est bien une primitive de ff sur R\mathbb{R}.