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Niveau 1 — Primitives — 15 min

Vérifier une primitive — série 1

Dans chaque question, vérifier que la fonction FF proposée est une primitive de ff en la dérivant.

  1. Soit ff et FF les fonctions définies sur R\mathbb{R} par f(x)=x2−2x+2f(x) = x^2-2x+2 et F(x)=x33−x2+2xF(x) = \dfrac{x^3}{3}-x^2+2x. Montrer que FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  2. Soit ff et FF les fonctions définies sur R\mathbb{R} par f(x)=2e2xf(x) = 2e^{2x} et F(x)=e2xF(x) = e^{2x}. Montrer que FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  3. Soit ff et FF les fonctions définies sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par f(x)=1x2f(x) = \dfrac{1}{x^2} et F(x)=−1xF(x) = -\dfrac{1}{x}. Montrer que FF est une primitive de ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

  4. Soit ff et FF les fonctions définies sur R\mathbb{R} par f(x)=cos⁡(2x)f(x) = \cos(2x) et F(x)=12sin⁡(2x)F(x) = \dfrac12\sin(2x). Montrer que FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  5. Soit ff et FF les fonctions définies sur R\mathbb{R} par f(x)=2x ex2f(x) = 2x\,e^{x^2} et F(x)=ex2F(x) = e^{x^2}. Montrer que FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

Niveau 1 — Primitives — 15 min

Corrigé — Vérifier une primitive — série 1

  1. FF est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xx de R\mathbb{R} :

    F′(x)=3x23−2x+2=x2−2x+2=f(x)F'(x) = \dfrac{3x^2}{3} - 2x + 2 = x^2-2x+2 = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur R\mathbb{R} : FF est bien une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  2. FF est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xx de R\mathbb{R} :

    On dérive eue^{u} avec u(x)=2xu(x)=2x, u′(x)=2u'(x)=2 : F′(x)=u′eu=2e2x=f(x)F'(x) = u'e^u = 2e^{2x} = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur R\mathbb{R} : FF est bien une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  3. FF est dérivable sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ et, pour tout xx de ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ :

    (1x)′=−1x2\left(\dfrac1x\right)' = -\dfrac{1}{x^2} donc F′(x)=−(−1x2)=1x2=f(x)F'(x) = -\left(-\dfrac1{x^2}\right) = \dfrac{1}{x^2} = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ : FF est bien une primitive de ff sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

  4. FF est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xx de R\mathbb{R} :

    F′(x)=12×2cos⁡(2x)=cos⁡(2x)=f(x)F'(x) = \dfrac12\times2\cos(2x) = \cos(2x) = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur R\mathbb{R} : FF est bien une primitive de ff sur R\mathbb{R}.

  5. FF est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xx de R\mathbb{R} :

    On dérive eue^u avec u(x)=x2u(x)=x^2, u′(x)=2xu'(x)=2x : F′(x)=u′eu=2x ex2=f(x)F'(x) = u'e^u = 2x\,e^{x^2} = f(x).

    Ainsi F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) sur R\mathbb{R} : FF est bien une primitive de ff sur R\mathbb{R}.