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Niveau 2 — Primitives — 20 min

Primitive avec condition initiale — série 1

Pour chaque fonction, déterminer l'ensemble de définition, repérer la forme composée, puis donner la primitive vérifiant la condition initiale.

  1. Soit ff la fonction définie par f(x)=2x ex2f(x) = 2x\,e^{x^2}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 00 qui vérifie F(0)=3F(0) = 3.

  2. Soit ff la fonction définie par f(x)=2xx2+1f(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 00 qui vérifie F(0)=3F(0) = 3.

  3. Soit ff la fonction définie par f(x)=x e−x2f(x) = x\,e^{-x^2}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 00 qui vérifie F(0)=1F(0) = 1.

  4. Soit ff la fonction définie par f(x)=1(x+1)2f(x) = \dfrac{1}{(x+1)^2}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 00 qui vérifie F(0)=2F(0) = 2.

  5. Soit ff la fonction définie par f(x)=1+2xx2+1f(x) = 1+\dfrac{2x}{x^2+1}. Déterminer son ensemble de définition, puis la primitive FF de ff sur l'intervalle de cet ensemble contenant 00 qui vérifie F(0)=2F(0) = 2.

Niveau 2 — Primitives — 20 min

Corrigé — Primitive avec condition initiale — série 1

  1. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. ff est définie sur R\mathbb{R}. Forme u′euu'e^u avec u=x2u=x^2.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦ex2+Cx \mapsto e^{x^2} + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(0)=3F(0) = 3 donne e0+C=3e^{0}+C=3, c'est-à-dire 1+C=31+C=3, soit C=2C = 2.

    La primitive cherchée est donc F(x)=ex2+2F(x) = e^{x^2}+2.

  2. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. x2+1>0x^2+1>0 donc ff est définie sur R\mathbb{R}. Forme u′u\frac{u'}{u} avec u=x2+1u=x^2+1.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦ln⁡(x2+1)+Cx \mapsto \ln(x^2+1) + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(0)=3F(0) = 3 donne ln⁡1+C=3\ln1+C=3, c'est-à-dire C=3C=3, soit C=3C = 3.

    La primitive cherchée est donc F(x)=ln⁡(x2+1)+3F(x) = \ln(x^2+1)+3.

  3. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. ff est définie sur R\mathbb{R}. Avec u=−x2u=-x^2, u′=−2xu'=-2x donc f=−12u′euf=-\frac12u'e^u.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦−12e−x2+Cx \mapsto -\dfrac12e^{-x^2} + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(0)=1F(0) = 1 donne −12e0+C=1-\dfrac12e^{0}+C=1, c'est-à-dire −12+C=1-\dfrac12+C=1, soit C=32C = \dfrac32.

    La primitive cherchée est donc F(x)=−12e−x2+32F(x) = -\dfrac12e^{-x^2}+\dfrac32.

  4. Ensemble de définition : Df=R∖{−1}\mathcal{D}_f = \mathbb{R}\setminus\{-1\}. ff n'est pas définie en −1-1 ; comme x0=0>−1x_0=0>-1, on travaille sur ]−1 ; +∞[]-1\,;\,+\infty[. Forme u′u2\frac{u'}{u^2}.

    Les primitives de ff sur ]−1 ; +∞[]-1\,;\,+\infty[ sont les fonctions x↦−1x+1+Cx \mapsto -\dfrac{1}{x+1} + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(0)=2F(0) = 2 donne −10+1+C=2-\dfrac{1}{0+1}+C=2, c'est-à-dire −1+C=2-1+C=2, soit C=3C = 3.

    La primitive cherchée est donc F(x)=−1x+1+3F(x) = -\dfrac{1}{x+1}+3.

  5. Ensemble de définition : Df=R\mathcal{D}_f = \mathbb{R}. x2+1>0x^2+1>0 donc ff est définie sur R\mathbb{R}.

    Les primitives de ff sur R\mathbb{R} sont les fonctions x↦x+ln⁡(x2+1)+Cx \mapsto x+\ln(x^2+1) + C avec C∈RC \in \mathbb{R}.

    Condition : F(0)=2F(0) = 2 donne 0+ln⁡1+C=20+\ln1+C=2, c'est-à-dire C=2C=2, soit C=2C = 2.

    La primitive cherchée est donc F(x)=x+ln⁡(x2+1)+2F(x) = x+\ln(x^2+1)+2.