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Niveau 2 — Primitives — 20 min

Calcul de primitives — série 4

Pour chaque fonction, déterminer l'ensemble de définition, repérer la forme $u'u^n$ , $\dfrac{u'}{u}$ , $u'e^u$ , $\dfrac{u'}{u^2}$ ou $\dfrac{u'}{\sqrt u}$ , puis donner une primitive sur chaque intervalle de l'ensemble de définition.

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = x(x^2+3)^2$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{x}{x^2+4}$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 3x^2\,e^{x^3}$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{2x+1}{x^2+x+1}+\cos x$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.

Niveau 2 — Primitives — 20 min

Corrigé — Calcul de primitives — série 4

Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$ .

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ . Avec $u(x)=x^2+3$ on a $u'(x)=2x$ , donc $f(x)=\dfrac12\,u'(x)\,u(x)^2$ . Une primitive de $u'u^2$ est $\dfrac{u^3}{3}$ , donc $F=\dfrac12\times\dfrac{u^3}{3}=\dfrac{u^3}{6}$ .

Sur $\mathbb{R}$ : $F(x) = \dfrac{(x^2+3)^3}{6}$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)
Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$ .

Le dénominateur est supérieur ou égal à $4$ : $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}$ . Avec $u(x)=x^2+4>0$ et $u'(x)=2x$ , on a $f=\dfrac12\times\dfrac{u'}{u}$ : une primitive est $\dfrac12\ln(u)$ .

Sur $\mathbb{R}$ : $F(x) = \dfrac12\ln(x^2+4)$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)
Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$ .

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ . On reconnaît $u'e^u$ avec $u(x)=x^3$ et $u'(x)=3x^2$ : une primitive est $e^u$ .

Sur $\mathbb{R}$ : $F(x) = e^{x^3}$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)
Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$ .

$x^2+1>0$ donc $\sqrt{x^2+1}$ est défini et non nul : $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}$ . Avec $u(x)=x^2+1$ et $u'(x)=2x$ , $f=\dfrac12\times\dfrac{u'}{\sqrt u}$ . Une primitive de $\dfrac{u'}{\sqrt u}$ est $2\sqrt u$ , donc $F=\sqrt u$ .

Sur $\mathbb{R}$ : $F(x) = \sqrt{x^2+1}$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)
Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$ .

Le discriminant de $x^2+x+1$ vaut $1-4=-3<0$ : le trinôme est strictement positif, donc $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}$ . On reconnaît $\dfrac{u'}{u}$ avec $u=x^2+x+1>0$ (primitive $\ln u$ ) et $\cos x$ a pour primitive $\sin x$ .

Sur $\mathbb{R}$ : $F(x) = \ln(x^2+x+1)+\sin x$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)