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Niveau 2 — Primitives — 20 min

Calcul de primitives — série 3

Pour chaque fonction, déterminer l'ensemble de définition, repérer la forme $u'u^n$ , $\dfrac{u'}{u}$ , $u'e^u$ , $\dfrac{u'}{u^2}$ ou $\dfrac{u'}{\sqrt u}$ , puis donner une primitive sur chaque intervalle de l'ensemble de définition.

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 3x^2(x^3-1)^4$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{2x-1}{x^2-x+3}$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = (2x+1)\,e^{x^2+x}$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{3}{(2x-4)^2}$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 3x^2(x^3+1)^2+\dfrac{1}{x^2}$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.

Niveau 2 — Primitives — 20 min

Corrigé — Calcul de primitives — série 3

Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$ .

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ . On reconnaît $u'u^n$ avec $u(x)=x^3-1$ , $u'(x)=3x^2$ et $n=4$ : une primitive est $\dfrac{u^5}{5}$ .

Sur $\mathbb{R}$ : $F(x) = \dfrac{(x^3-1)^5}{5}$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)
Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$ .

Le discriminant de $x^2-x+3$ vaut $1-12=-11<0$ et le coefficient de $x^2$ est positif : $x^2-x+3>0$ pour tout $x$ , donc $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}$ . On reconnaît $\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=x^2-x+3>0$ et $u'(x)=2x-1$ .

Sur $\mathbb{R}$ : $F(x) = \ln(x^2-x+3)$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)
Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$ .

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ . On reconnaît $u'e^u$ avec $u(x)=x^2+x$ et $u'(x)=2x+1$ : une primitive est $e^u$ .

Sur $\mathbb{R}$ : $F(x) = e^{x^2+x}$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)
Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}\setminus\{2\}$ .

Le dénominateur s'annule en $x=2$ : $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}$ , réunion de $]-\infty\,;\,2[$ et $]2\,;\,+\infty[$ . Avec $u(x)=2x-4$ et $u'(x)=2$ , $f=\dfrac32\times\dfrac{u'}{u^2}$ a pour primitive $\dfrac32\times\left(-\dfrac1u\right)=-\dfrac{3}{2(2x-4)}=-\dfrac{3}{4x-8}$ .

Sur $]2\,;\,+\infty[$ : $F(x) = -\dfrac{3}{4x-8}$ .

Sur $]-\infty\,;\,2[$ : $F(x) = -\dfrac{3}{4x-8}$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)
Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}^* = ]-\infty\,;\,0[ \cup ]0\,;\,+\infty[$ .

$\dfrac1{x^2}$ n'est pas défini en $0$ : $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}^*$ . Sur chacun des intervalles $]-\infty\,;\,0[$ et $]0\,;\,+\infty[$ : $3x^2(x^3+1)^2=u'u^2$ avec $u=x^3+1$ a pour primitive $\dfrac{(x^3+1)^3}{3}$ , et $\dfrac1{x^2}$ a pour primitive $-\dfrac1x$ .

Sur $]0\,;\,+\infty[$ : $F(x) = \dfrac{(x^3+1)^3}{3}-\dfrac1x$ .

Sur $]-\infty\,;\,0[$ : $F(x) = \dfrac{(x^3+1)^3}{3}-\dfrac1x$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)