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Niveau 1 — Primitives — 15 min

Calcul de primitives — série 1

Pour chaque fonction, déterminer l'ensemble de définition puis une primitive sur chaque intervalle où elle est définie. On rappelle qu'une primitive n'existe que sur un intervalle.

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 3x^2-2x+1$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = e^{2x}$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \cos(3x)$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = x^2+\dfrac{1}{x^2}$ . Déterminer son ensemble de définition, puis une primitive de $f$ sur chaque intervalle de cet ensemble.

Niveau 1 — Primitives — 15 min

Corrigé — Calcul de primitives — série 1

Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$ .

$f$ est une fonction polynôme, définie sur $\mathbb{R}$ . On utilise que $x^n$ a pour primitive $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ terme à terme.

Sur $\mathbb{R}$ : $F(x) = x^3 - x^2 + x$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)
Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}^* = ]-\infty\,;\,0[ \cup ]0\,;\,+\infty[$ .

$f$ n'est pas définie en $0$ : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}^*$ , qui n'est pas un intervalle. On cherche une primitive sur chacun des deux intervalles $]-\infty\,;\,0[$ et $]0\,;\,+\infty[$ . Comme $\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}$ , une primitive est $\dfrac{x^{-1}}{-1}=-\dfrac1x$ sur chacun d'eux.

Sur $]0\,;\,+\infty[$ : $F(x) = -\dfrac{1}{x}$ .

Sur $]-\infty\,;\,0[$ : $F(x) = -\dfrac{1}{x}$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)
Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$ .

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ . Une primitive de $e^{ax+b}$ est $\dfrac1a e^{ax+b}$ ; ici $a=2$ .

Sur $\mathbb{R}$ : $F(x) = \dfrac12 e^{2x}$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)
Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$ .

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ . Une primitive de $\cos(ax+b)$ est $\dfrac1a\sin(ax+b)$ ; ici $a=3$ .

Sur $\mathbb{R}$ : $F(x) = \dfrac13\sin(3x)$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)
Ensemble de définition : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}^* = ]-\infty\,;\,0[ \cup ]0\,;\,+\infty[$ .

$f$ n'est pas définie en $0$ : $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}^*$ . Sur chacun des intervalles $]-\infty\,;\,0[$ et $]0\,;\,+\infty[$ , on intègre terme à terme : $x^2$ a pour primitive $\dfrac{x^3}{3}$ et $\dfrac1{x^2}$ a pour primitive $-\dfrac1x$ .

Sur $]0\,;\,+\infty[$ : $F(x) = \dfrac{x^3}{3} - \dfrac1x$ .

Sur $]-\infty\,;\,0[$ : $F(x) = \dfrac{x^3}{3} - \dfrac1x$ .

(Toute autre primitive s'en déduit par addition d'une constante.)