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Niveau 2 — Limites de fonctions — 30 min

Une fraction rationnelle à simplifier

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x^2-x}{x^2-1}$ et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

Déterminer l'ensemble de définition de $f$ , puis montrer que, pour tout $x$ de cet ensemble, $f(x)=\dfrac{x}{x+1}$ .
Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$ . Que peut-on en déduire pour $\mathcal{C}_f$ ?
Déterminer les limites de $f$ en $-1^-$ et en $-1^+$ . Que peut-on en déduire ?
Déterminer la limite de $f$ en $1$ . La droite d'équation $x=1$ est-elle asymptote à $\mathcal{C}_f$ ?
Dresser le bilan : quelles sont toutes les asymptotes de $\mathcal{C}_f$ ?

Niveau 2 — Limites de fonctions — 30 min

Corrigé — Une fraction rationnelle à simplifier

$x^2-1=(x-1)(x+1)$ s'annule en $1$ et en $-1$ : $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\,;\,1\}$ .

Pour $x\in\mathcal{D}_f$ : $f(x)=\dfrac{x(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{x}{x+1}$ .
Quotient des termes dominants : $\dfrac{x}{x}=1$ . Donc $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=1$ .

La droite d'équation $y=1$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$ .
Au voisinage de $-1$ , $f(x)=\dfrac{x}{x+1}$ et le numérateur tend vers $-1<0$ .
- Si $x\to-1^-$ , $x+1\to0^-$ : le quotient tend vers $+\infty$ .
- Si $x\to-1^+$ , $x+1\to0^+$ : le quotient tend vers $-\infty$ .
La droite d'équation $x=-1$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$ .
Pour $x\neq1$ (et $x\neq-1$ ), $f(x)=\dfrac{x}{x+1}$ , qui tend vers $\dfrac12$ quand $x\to1$ .

La limite est finie : la droite $x=1$ n'est pas asymptote. La courbe se rapproche du point $\left(1\,;\,\dfrac12\right)$ , qui n'appartient pas à $\mathcal{C}_f$ car $1\notin\mathcal{D}_f$ (c'est un « trou » de la courbe).
D'après les questions précédentes, $\mathcal{C}_f$ admet exactement deux asymptotes :
- la droite verticale d'équation $x=-1$ ;
- la droite horizontale d'équation $y=1$ (en $+\infty$ et en $-\infty$ ).
La droite $x=1$ n'est pas asymptote.