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Niveau 2 — Limites de fonctions — 30 min

Une fonction logistique et ses deux asymptotes horizontales

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{e^x}{e^x+1}$ . On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

Justifier que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$ , puis montrer que $f(x)=1-\dfrac{1}{e^x+1}$ .
Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ .
Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ .
En déduire les asymptotes de $\mathcal{C}_f$ .
Étudier la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à chacune de ces deux asymptotes.

Niveau 2 — Limites de fonctions — 30 min

Corrigé — Une fonction logistique et ses deux asymptotes horizontales

Pour tout réel $x$ , $e^x>0$ donc $e^x+1>1>0$ : le dénominateur ne s'annule jamais, $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ .

$1-\dfrac{1}{e^x+1}=\dfrac{(e^x+1)-1}{e^x+1}=\dfrac{e^x}{e^x+1}=f(x)$ .
Quand $x\to+\infty$ , $e^x\to+\infty$ donc $e^x+1\to+\infty$ et $\dfrac{1}{e^x+1}\to0$ . D'où $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1$ .
Quand $x\to-\infty$ , $e^x\to0$ : le numérateur tend vers $0$ et le dénominateur vers $1$ . D'où $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0$ .
- $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1$ : la droite $y=1$ est asymptote horizontale en $+\infty$ .
- $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0$ : la droite $y=0$ est asymptote horizontale en $-\infty$ .
$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ : pas d'asymptote verticale.
- Par rapport à $y=1$ : $f(x)-1=-\dfrac{1}{e^x+1}<0$ , donc $\mathcal{C}_f$ est toujours en dessous de la droite $y=1$ .
- Par rapport à $y=0$ : $f(x)=\dfrac{e^x}{e^x+1}>0$ , donc $\mathcal{C}_f$ est toujours au-dessus de la droite $y=0$ .