Niveau 2 — Limites de fonctions — 30 min

Corrigé — Une fonction rationnelle et son asymptote oblique

1. Le dénominateur s'annule pour $x=1$ : $\mathcal{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

   Pour $x\neq1$ : $2x+3+\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{(2x+3)(x-1)+2}{x-1}=\dfrac{2x^2+x-3+2}{x-1}=\dfrac{2x^2+x-1}{x-1}=f(x)$.

2. On utilise $f(x)=2x+3+\dfrac2{x-1}$. Comme $\dfrac{2}{x-1}\to0$ en $\pm\infty$, $f(x)$ a la même limite que $2x+3$.

   $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$.

3. En $1$, le numérateur tend vers $2+1-1=2>0$.

   • Si $x\to1^+$, $x-1\to0^+$ donc $f(x)\to+\infty$.
   • Si $x\to1^-$, $x-1\to0^-$ donc $f(x)\to-\infty$.

4. $f(x)-(2x+3)=\dfrac{2}{x-1}\to0$ quand $x\to+\infty$ et quand $x\to-\infty$ : la droite $\Delta:y=2x+3$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $\pm\infty$.

   De plus, d'après la question précédente, $\lim\limits_{x\to1}|f(x)|=+\infty$ : la droite d'équation $x=1$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$.

5. $f(x)-(2x+3)=\dfrac{2}{x-1}$ a le signe de $x-1$.

   • Si $x>1$, la différence est positive : $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\Delta$.
   • Si $x<1$, la différence est négative : $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $\Delta$.