Pour que le moteur comptabilise tes réponses, il faudra les entrer ici quand tu auras fini.

Le PDF s'ouvre dans un nouvel onglet : tu peux l'enregistrer sur ton ordinateur ou l'imprimer.

Faire l'exercice sur le site

Niveau 2 — Intégrales — 35 min

Contexte : bénéfice et recette marginale

Pour une production de qq centaines d'unités, le bénéfice marginal (en k€ par centaine) est bm(q)=40−6qb_m(q)=40-6q pour q∈[0 ; 10]q\in[0\,;\,10]. Les coûts fixes sont de 3030 k€, donc B(0)=−30B(0)=-30.

  1. Exprimer le bénéfice B(q)B(q) et vérifier que B′=bmB'=b_m.

  2. Pour quelle production le bénéfice est-il maximal ? Calculer ce bénéfice maximal.

  3. Calculer ∫58bm(q) dq\displaystyle\int_5^8b_m(q)\,dq et interpréter. Décomposer en ∫520/3\displaystyle\int_5^{20/3} et ∫20/38\displaystyle\int_{20/3}^8.

  4. Pour quelles productions l'entreprise est-elle bénéficiaire (B(q)>0B(q)>0) ? (valeurs approchées à 10−210^{-2})

  5. Calculer le bénéfice moyen 110∫010B(q) dq\dfrac1{10}\displaystyle\int_0^{10}B(q)\,dq sur [0 ; 10][0\,;\,10].

Niveau 2 — Intégrales — 35 min

Corrigé — Contexte : bénéfice et recette marginale

  1. B(q)=−30+∫0q(40−6s)ds=40q−3q2−30B(q)=-30+\displaystyle\int_0^q(40-6s)ds=40q-3q^2-30 (k€) et B′(q)=40−6q=bm(q)B'(q)=40-6q=b_m(q) ✓.

  2. bm(q)=0  ⟺  q=203≈6,67b_m(q)=0\iff q=\dfrac{20}3\approx6{,}67 ; BB croît avant et décroît après. B(203)=8003−4003−30=3103≈103,33B\left(\dfrac{20}3\right)=\dfrac{800}3-\dfrac{400}3-30=\dfrac{310}3\approx103{,}33 k€.

  3. ∫58bm=B(8)−B(5)=98−95=3\displaystyle\int_5^8b_m=B(8)-B(5)=98-95=3 k€ (bénéfice qui augmente de 33 k€). Mais ∫520/3bm=253≈8,33\displaystyle\int_5^{20/3}b_m=\dfrac{25}3\approx8{,}33 (gain) et ∫20/38bm=3−253=−163≈−5,33\displaystyle\int_{20/3}^8b_m=3-\dfrac{25}3=-\dfrac{16}3\approx-5{,}33 (perte) : produire au-delà de 203\dfrac{20}3 centaines détruit du bénéfice.

  4. B(q)>0  ⟺  3q2−40q+30<0B(q)>0\iff3q^2-40q+30<0, de discriminant 1 600−360=1 2401\,600-360=1\,240 ; racines 40±12406≈0,80\dfrac{40\pm\sqrt{1240}}6\approx0{,}80 et 12,5412{,}54. Comme la production est limitée à q∈[0 ; 10]q\in[0\,;\,10], le bénéfice est positif pour q∈ ]0,80 ; 10]q\in\,]0{,}80\,;\,10] centaines d'unités (la racine 12,5412{,}54 est hors du domaine).

  5. ∫010(40q−3q2−30)dq=[20q2−q3−30q]010=2000−1000−300=700\displaystyle\int_0^{10}\left(40q-3q^2-30\right)dq=\left[20q^2-q^3-30q\right]_0^{10}=2000-1000-300=700 ; moyenne =70=70 k€.