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Niveau 2 — Intégrales — 35 min

Contexte : l'aire d'un terrain

Un terrain est délimité par un chemin rectiligne d'équation y=x4y=\dfrac x4 et par un ruisseau modélisé par la courbe de f(x)=−x28+xf(x)=-\dfrac{x^2}{8}+x, pour x∈[0 ; 6]x\in[0\,;\,6] (l'unité sur chaque axe est 100100 m).

  1. Résoudre f(x)=x4f(x)=\dfrac x4 et préciser quelle ligne est au-dessus de l'autre sur [0 ; 6][0\,;\,6].

  2. Calculer l'aire du terrain en u.a. puis en hectares (11 u.a. =100×100=10 000=100\times100=10\,000 m² =1=1 ha).

  3. Le terrain est vendu 33 € par m². Quel est son prix ?

  4. On veut partager le terrain en deux parcelles de même aire par une clôture verticale x=cx=c. Montrer que c=3c=3 convient.

  5. Quelle est la plus grande largeur du terrain mesurée verticalement, et où se situe-t-elle ?

Niveau 2 — Intégrales — 35 min

Corrigé — Contexte : l'aire d'un terrain

  1. −x28+3x4=−x(x−6)8=0  ⟺  x=0-\dfrac{x^2}8+\dfrac{3x}4=-\dfrac{x(x-6)}{8}=0\iff x=0 ou x=6x=6. Entre les deux, f(x)−x4≥0f(x)-\dfrac x4\geq0 : le ruisseau est au-dessus du chemin.

  2. A=∫06(−x28+3x4)dx=[−x324+3x28]06=−9+272=92\mathcal{A}=\displaystyle\int_0^6\left(-\dfrac{x^2}8+\dfrac{3x}4\right)dx=\left[-\dfrac{x^3}{24}+\dfrac{3x^2}8\right]_0^6=-9+\dfrac{27}2=\dfrac92 u.a. soit 4,54{,}5 ha.

  3. 4,5 ha=45 0004{,}5\text{ ha}=45\,000 m², donc 45 000×3=135 00045\,000\times3=135\,000 €.

  4. Aire sur [0 ; 3][0\,;\,3] : −2724+278=−98+278=188=94-\dfrac{27}{24}+\dfrac{27}8=-\dfrac98+\dfrac{27}8=\dfrac{18}8=\dfrac94, soit la moitié de 92\dfrac92 ✓. On peut aussi le justifier par la symétrie de la parabole par rapport à x=3x=3.

  5. w(x)=−x28+3x4w(x)=-\dfrac{x^2}8+\dfrac{3x}4, w′(x)=−x4+34=0  ⟺  x=3w'(x)=-\dfrac x4+\dfrac34=0\iff x=3 ; w(3)=98≈1,125w(3)=\dfrac98\approx1{,}125, soit environ 112,5112{,}5 m (en x=300x=300 m).