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Contexte : croissance d'une population

Une population (en milliers d'individus) a un taux de croissance annuel $r(t)=0{,}5e^{0{,}1t}$ (en milliers par an), $t$ en années depuis le début de l'étude. Au départ, elle compte $50$ milliers d'individus.

Exprimer la population $P(t)$ en fonction de $t$ (utiliser $P(t)=P(0)+\int_0^tr(s)ds$ ).
Combien d'individus (en milliers) ont été ajoutés à la population pendant les $10$ premières années ?
Vérifier que $P'(t)=r(t)$ et étudier la convexité de $P$ . Que dit-elle de la vitesse de croissance ?
À quel moment la population atteint-elle $60$ milliers ? Et double-t-elle à un moment donné ?
Calculer la population moyenne sur les $10$ premières années.

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Corrigé — Contexte : croissance d'une population

$P(t)=50+\displaystyle\int_0^t0{,}5e^{0{,}1s}ds=50+\left[5e^{0{,}1s}\right]_0^t=45+5e^{0{,}1t}$ .
$\displaystyle\int_0^{10}r(t)dt=5(e-1)\approx8{,}591$ milliers, soit environ $8590$ individus.
$P'(t)=0{,}5e^{0{,}1t}=r(t)$ ✓. $P''(t)=0{,}05e^{0{,}1t}>0$ : $P$ est convexe, la croissance s'accélère.
$45+5e^{0{,}1t}=60\iff e^{0{,}1t}=3\iff t=10\ln3\approx10{,}99$ ans. Doublement ( $P=100$ ) : $e^{0{,}1t}=11\iff t=10\ln11\approx23{,}98$ ans.
$\dfrac{1}{10}\displaystyle\int_0^{10}\left(45+5e^{0{,}1t}\right)dt=\dfrac1{10}\left[45t+50e^{0{,}1t}\right]_0^{10}=\dfrac{450+50e-50}{10}=40+5e\approx53{,}59$ milliers.