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Niveau 2 — Intégrales — 40 min

Contexte : production d'une centrale solaire

La puissance (en kW) d'une installation solaire entre 66 h et 1818 h est modélisée par p(t)=4sin⁡(π(t−6)12)p(t)=4\sin\left(\dfrac{\pi(t-6)}{12}\right) ; elle est nulle la nuit. L'énergie produite entre t1t_1 et t2t_2 est ∫t1t2p(t) dt\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}p(t)\,dt (en kWh).

  1. Étudier pp sur [6 ; 18][6\,;\,18] : valeurs aux bornes, instant et valeur du maximum.

  2. Calculer l'énergie produite sur la journée (66 h à 1818 h), valeur exacte puis approchée.

  3. Quelle est la puissance moyenne entre 66 h et 1818 h ? Et la puissance moyenne sur 2424 h ?

  4. Calculer l'énergie produite entre 88 h et 1616 h (valeur exacte) et la proportion de la production quotidienne qu'elle représente.

  5. Pour une batterie de stockage de 2020 kWh : à quelle heure la production cumulée depuis 66 h atteint-elle 2020 kWh ? (heure et minutes)

Niveau 2 — Intégrales — 40 min

Corrigé — Contexte : production d'une centrale solaire

  1. p(6)=p(18)=0p(6)=p(18)=0. Le sinus vaut 11 pour π(t−6)12=π2\dfrac{\pi(t-6)}{12}=\dfrac\pi2, soit t=12t=12 : p(12)=4p(12)=4 kW (maximum à midi).

  2. E=[−48πcos⁡(π(t−6)12)]618=−48π(cos⁡π−cos⁡0)=96π≈30,56E=\left[-\dfrac{48}{\pi}\cos\left(\dfrac{\pi(t-6)}{12}\right)\right]_6^{18}=-\dfrac{48}\pi(\cos\pi-\cos0)=\dfrac{96}{\pi}\approx30{,}56 kWh.

  3. Sur 1212 h : 96/π12=8π≈2,546\dfrac{96/\pi}{12}=\dfrac8\pi\approx2{,}546 kW. Sur 2424 h : 96/π24=4π≈1,273\dfrac{96/\pi}{24}=\dfrac4\pi\approx1{,}273 kW (la production est nulle la nuit).

  4. E′=−48π[cos⁡5π6−cos⁡π6]=−48π(−3)=483π≈26,46E'=-\dfrac{48}\pi\left[\cos\dfrac{5\pi}6-\cos\dfrac\pi6\right]=-\dfrac{48}\pi\left(-\sqrt3\right)=\dfrac{48\sqrt3}\pi\approx26{,}46 kWh, soit 483/π96/π=32≈86,6 %\dfrac{48\sqrt3/\pi}{96/\pi}=\dfrac{\sqrt3}2\approx86{,}6\,\% de la production quotidienne.

  5. 48π(1−cos⁡θ)=20  ⟺  cos⁡θ=1−20π48≈−0,3090\dfrac{48}\pi(1-\cos\theta)=20\iff\cos\theta=1-\dfrac{20\pi}{48}\approx-0{,}3090 donc θ≈1,8849\theta\approx1{,}8849 rad et t=6+12θπ≈13,20t=6+\dfrac{12\theta}{\pi}\approx13{,}20 h, soit environ 1313 h 1212 min.