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Niveau 2 — Intégrales — 40 min

Contexte : exposition à un médicament (aire sous la courbe)

Après une injection, la concentration plasmatique d'un médicament (en mg/L) est $c(t)=5te^{-t/2}$ , $t$ en heures. On appelle « exposition » (AUC) la quantité $A(T)=\displaystyle\int_0^Tc(t)\,dt$ (en mg·h/L).

Étudier les variations de $c$ : à quel instant la concentration est-elle maximale, et que vaut ce maximum ?
Montrer, par intégration par parties, que $A(T)=20-(10T+20)e^{-T/2}$ .
Déterminer $\lim\limits_{T\to+\infty}A(T)$ (exposition totale) et calculer $A(8)$ .
Montrer que $A$ est croissante. Combien d'heures faut-il pour que $95\,\%$ de l'exposition totale ( $19$ mg·h/L) soit atteinte ? (valeur approchée à $0{,}1$ h)
On répète la même injection toutes les $T=8$ h en supposant les effets additifs (sans accumulation), puis à l'identique. Quelle exposition cumulée en $24$ h (trois injections) obtient-on environ ?

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Corrigé — Contexte : exposition à un médicament (aire sous la courbe)

$c'(t)=5e^{-t/2}-\dfrac52te^{-t/2}=5\left(1-\dfrac t2\right)e^{-t/2}$ : maximum en $t=2$ h, $c(2)=10e^{-1}\approx3{,}68$ mg/L.
$A(T)=\left[-10te^{-t/2}\right]_0^T+\displaystyle\int_0^T10e^{-t/2}dt=-10Te^{-T/2}+\left[-20e^{-t/2}\right]_0^T=-10Te^{-T/2}+20-20e^{-T/2}$ ✓.
$\lim\limits_{T\to+\infty}A(T)=20$ mg·h/L. $A(8)=20-100e^{-4}\approx18{,}168$ .
$A'(T)=c(T)>0$ pour $T>0$ : $A$ est strictement croissante et continue de $0$ à $20$ ; $A(T)=19$ a une unique solution. $A(9)\approx18{,}778<19<A(10)\approx19{,}191$ ; $T\approx9{,}5$ h.
Chaque injection apporte au plus $20$ mg·h/L ; sur $24$ h, trois injections à $t=0,8,16$ donnent $A(24)+A(16)+A(8)\approx20{,}00+19{,}94+18{,}17\approx58{,}1$ mg·h/L, un peu moins que $60$ car la dernière injection n'a pas fini d'agir.