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Niveau 2 — Intégrales — 35 min

Contexte : décharge d'un condensateur

Dans un circuit, l'intensité du courant (en ampères) à l'instant $t$ (en secondes) est $i(t)=2e^{-t/3}$ . La charge qui a traversé le circuit entre $0$ et $T$ est $Q(T)=\displaystyle\int_0^Ti(t)\,dt$ .

Calculer $Q(T)$ puis sa limite quand $T\to+\infty$ .
Quelle est l'intensité moyenne sur $[0\,;\,6]$ ?
En supposant une résistance $R=10\ \Omega$ , l'énergie dissipée entre $0$ et $T$ est $W(T)=\displaystyle\int_0^TR\,i(t)^2\,dt$ . Calculer $W(T)$ et sa limite.
À quel instant $95\,\%$ de la charge totale a-t-elle traversé le circuit ?
À quel instant la moitié de l'énergie totale est-elle dissipée ? Comparer avec l'instant où la moitié de la charge a traversé le circuit.

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Corrigé — Contexte : décharge d'un condensateur

$Q(T)=\left[-6e^{-t/3}\right]_0^T=6\left(1-e^{-T/3}\right)$ coulombs ; $\lim\limits_{T\to+\infty}Q(T)=6$ C.
$\dfrac{Q(6)}{6}=1-e^{-2}\approx0{,}865$ A (à comparer à $i(0)=2$ A et $i(6)=2e^{-2}\approx0{,}271$ A).
$W(T)=\displaystyle\int_0^T40e^{-2t/3}dt=\left[-60e^{-2t/3}\right]_0^T=60\left(1-e^{-2T/3}\right)$ joules ; $\lim W(T)=60$ J.
$Q(T)=0{,}95\times6\iff e^{-T/3}=0{,}05\iff T=3\ln20\approx8{,}99$ s.
$W(T)=30\iff e^{-2T/3}=\dfrac12\iff T=\dfrac32\ln2\approx1{,}040$ s. Pour la charge : $e^{-T/3}=\dfrac12\iff T=3\ln2\approx2{,}079$ s. L'énergie (qui dépend de $i^2$ ) est dissipée deux fois plus vite que la charge ne passe.