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Niveau 2 — Intégrales — 40 min

Contexte : coût marginal et coût moyen

Une entreprise produit $q$ milliers d'objets par mois ( $q>0$ ). Son coût marginal (en k€ par millier d'objets) est $C_m(q)=3q^2-12q+20$ , et ses coûts fixes sont de $50$ k€.

Montrer que $C_m(q)>0$ pour tout $q$ (étudier le discriminant) puis donner le coût total $C(q)$ .
Calculer, à l'aide d'une intégrale, l'augmentation du coût total lorsque la production passe de $2$ à $4$ milliers d'objets.
On définit le coût moyen $C_M(q)=\dfrac{C(q)}{q}$ . Calculer $C_M'(q)$ et montrer que $C_M'(q)=\dfrac{q\,C_m(q)-C(q)}{q^2}$ .
Montrer que $C_M'(q)=0\iff q^3-3q^2-25=0$ et que cette équation admet une unique solution $\alpha\in]4\,;\,5[$ sur $]0\,;\,+\infty[$ (donner une valeur approchée à $10^{-2}$ ).
Montrer que $C_M(\alpha)=C_m(\alpha)$ et calculer cette valeur (arrondie à $0{,}1$ ). Interpréter.

Niveau 2 — Intégrales — 40 min

Corrigé — Contexte : coût marginal et coût moyen

Discriminant de $3q^2-12q+20$ : $144-240=-96<0$ donc $C_m>0$ . $C(q)=50+\displaystyle\int_0^q\left(3s^2-12s+20\right)ds=q^3-6q^2+20q+50$ (k€). $C$ est strictement croissante.
$\displaystyle\int_2^4C_m(q)dq=\left[q^3-6q^2+20q\right]_2^4=48-24=24$ k€ (on retrouve $C(4)-C(2)=106-82$ ).
$C_M'(q)=\dfrac{C'(q)q-C(q)}{q^2}=\dfrac{qC_m(q)-C(q)}{q^2}$ , car $C'=C_m$ .
$qC_m(q)-C(q)=3q^3-12q^2+20q-q^3+6q^2-20q-50=2q^3-6q^2-50=2\left(q^3-3q^2-25\right)$ . Sur $]0\,;\,+\infty[$ la fonction $h(q)=q^3-3q^2-25$ est décroissante sur $]0\,;\,2]$ (et négative) puis croissante sur $[2\,;\,+\infty[$ ; $h(4)=-9<0<h(5)=25$ : unique solution $\alpha\approx4{,}33$ .
$C_M'(\alpha)=0$ donne $\alpha C_m(\alpha)=C(\alpha)$ donc $C_M(\alpha)=C_m(\alpha)\approx24{,}3$ k€ par millier. Le coût moyen est minimal pour $\alpha\approx4{,}33$ milliers d'objets, et il est alors égal au coût marginal.