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Niveau 2 — Intégrales — 35 min

Contexte : un robot sur un rail

Un robot se déplace sur un rail avec une vitesse (en m/s) $v(t)=2te^{-t/2}$ à l'instant $t\geq0$ (en secondes), partant de l'origine.

Étudier les variations de $v$ ; à quel instant la vitesse est-elle maximale et que vaut-elle ?
Montrer que la fonction $D : t\mapsto8-4(t+2)e^{-t/2}$ est une primitive de $v$ qui s'annule en $0$ .
En déduire la distance parcourue pendant les $10$ premières secondes (au centimètre près).
Le robot s'arrêtera-t-il ? Quelle distance maximale peut-il parcourir ?
À partir de quel instant a-t-il parcouru plus de $99\,\%$ de la distance limite (soit $7{,}92$ m) ? Donner une valeur approchée à $0{,}1$ s près.

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Corrigé — Contexte : un robot sur un rail

$v'(t)=2e^{-t/2}-te^{-t/2}=(2-t)e^{-t/2}$ : $v$ croît sur $[0\,;\,2]$ puis décroît. Maximum $v(2)=\dfrac4e\approx1{,}472$ m/s.
$D'(t)=-4\left[e^{-t/2}-\dfrac12(t+2)e^{-t/2}\right]=-4e^{-t/2}\left[1-\dfrac t2-1\right]=2te^{-t/2}=v(t)$ ✓ et $D(0)=8-8=0$ ✓.
$D(10)=8-48e^{-5}\approx7{,}6766$ m, soit environ $7{,}68$ m.
$\lim\limits_{t\to+\infty}D(t)=8$ (car $(t+2)e^{-t/2}\to0$ ) : le robot ralentit indéfiniment et ne dépasse jamais $8$ m.
$D$ est strictement croissante ( $D'=v>0$ ), continue, de $0$ à $8$ : l'équation $D(t)=7{,}92$ a une unique solution. $D(13)\approx7{,}910<7{,}92<D(13{,}5)\approx7{,}927$ : $t\approx13{,}3$ s.