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Niveau 2 — Intégrales — 30 min

Contexte : une fuite d'eau

Un réservoir présente une fuite dont le débit (en litres par heure) à l'instant tt (en heures, t≥0t\geq0) est d(t)=24e−0,2td(t)=24e^{-0{,}2t}.

  1. Montrer que le volume perdu (en litres) entre 00 et TT heures est V(T)=120(1−e−0,2T)V(T)=120\left(1-e^{-0{,}2T}\right).

  2. Quel volume est perdu pendant les 1010 premières heures ? (arrondir au litre)

  3. Le réservoir finira-t-il par se vider complètement si la fuite dure indéfiniment, sachant qu'il contient 150150 L ? Justifier avec une limite.

  4. Au bout de combien de temps a-t-on perdu 90 %90\,\% du volume total perdu ? (heures et minutes)

  5. Calculer le débit moyen sur les 1010 premières heures et le comparer au débit initial et au débit à t=10t=10.

Niveau 2 — Intégrales — 30 min

Corrigé — Contexte : une fuite d'eau

  1. V(T)=∫0T24e−0,2tdt=[24−0,2e−0,2t]0T=120(1−e−0,2T)V(T)=\displaystyle\int_0^T24e^{-0{,}2t}dt=\left[\dfrac{24}{-0{,}2}e^{-0{,}2t}\right]_0^T=120\left(1-e^{-0{,}2T}\right).

  2. V(10)=120(1−e−2)≈103,76V(10)=120\left(1-e^{-2}\right)\approx103{,}76 L, soit environ 104104 L.

  3. lim⁡T→+∞V(T)=120\lim\limits_{T\to+\infty}V(T)=120 L : la perte totale sera de 120120 L <150<150 L ; le réservoir ne se vide donc jamais complètement (il restera au moins 3030 L).

  4. 1−e−0,2T=0,9  ⟺  T=5ln⁡10≈11,511-e^{-0{,}2T}=0{,}9\iff T=5\ln10\approx11{,}51 h, soit environ 1111 h 3131 min.

  5. m=V(10)10=12(1−e−2)≈10,38m=\dfrac{V(10)}{10}=12\left(1-e^{-2}\right)\approx10{,}38 L/h. Le débit initial est d(0)=24d(0)=24 L/h et d(10)=24e−2≈3,25d(10)=24e^{-2}\approx3{,}25 L/h : le débit moyen est compris entre les deux.