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Niveau 2 — Intégrales — 40 min

Inégalités par convexité (Hermite–Hadamard)

Soit $f$ une fonction convexe et dérivable sur $[a\,;\,b]$ . On admet que sa courbe est au-dessus de ses tangentes et en dessous de ses cordes (sécantes entre deux points de la courbe).

Pour $f(x)=e^x$ sur $[0\,;\,1]$ , écrire l'équation de la tangente au point d'abscisse $\dfrac12$ et en déduire $\displaystyle\int_0^1e^x\,dx\geq e^{1/2}$ .
Écrire l'équation de la corde passant par les points d'abscisses $0$ et $1$ de la courbe de $e^x$ et en déduire $\displaystyle\int_0^1e^xdx\leq\dfrac{1+e}2$ .
Calculer exactement $\displaystyle\int_0^1e^xdx$ et vérifier $e^{1/2}\leq\displaystyle\int_0^1e^xdx\leq\dfrac{1+e}2$ numériquement.
Appliquer la même méthode à $f(x)=\dfrac1x$ (convexe sur $]0\,;\,+\infty[$ ) sur $[1\,;\,2]$ pour encadrer $\ln2=\displaystyle\int_1^2\dfrac{dx}x$ .
Énoncer l'encadrement général pour une fonction convexe sur $[a\,;\,b]$ : $f\left(\dfrac{a+b}2\right)\leq\dfrac1{b-a}\displaystyle\int_a^bf\leq\dfrac{f(a)+f(b)}2$ . Justifier brièvement.

Niveau 2 — Intégrales — 40 min

Corrigé — Inégalités par convexité (Hermite–Hadamard)

$T : y=e^{1/2}\left(x-\dfrac12\right)+e^{1/2}$ . $e^x\geq T(x)$ par convexité, donc $\displaystyle\int_0^1e^xdx\geq\int_0^1T(x)dx=e^{1/2}\int_0^1\left(x-\dfrac12\right)dx+e^{1/2}=0+e^{1/2}=e^{1/2}$ (car $\displaystyle\int_0^1\left(x-\dfrac12\right)dx=\dfrac12-\dfrac12=0$ ).
Corde : $y=1+(e-1)x$ . Par convexité $e^x\leq1+(e-1)x$ sur $[0\,;\,1]$ , donc $\displaystyle\int_0^1e^xdx\leq1+\dfrac{e-1}2=\dfrac{1+e}2$ .
$\displaystyle\int_0^1e^xdx=e-1\approx1{,}718$ . Et $e^{1/2}\approx1{,}649\leq1{,}718\leq\dfrac{1+e}2\approx1{,}859$ ✓.
Tangente en $\dfrac32$ : $y=-\dfrac49\left(x-\dfrac32\right)+\dfrac23$ , d'intégrale (valeur au milieu $\times$ largeur) $\dfrac23$ . Corde : $y=1-\dfrac12(x-1)$ , d'intégrale $\dfrac{1+1/2}2=\dfrac34$ . Donc $\dfrac23\leq\ln2\leq\dfrac34$ ( $0{,}667\leq0{,}693\leq0{,}75$ ✓).
Le premier membre vient de la tangente au milieu (dont la valeur moyenne est $f\left(\frac{a+b}2\right)$ ) ; le dernier vient de la corde (dont la valeur moyenne est la moyenne des valeurs aux extrémités). C'est l'inégalité de Hermite–Hadamard.