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Inégalité de la moyenne pour (ln x)/x

Soit $f$ la fonction définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ et $I=\displaystyle\int_e^{e^2}f(x)\,dx$ .

Étudier les variations de $f$ sur $[e\,;\,e^2]$ et préciser ses valeurs extrêmes.
En déduire un encadrement de $I$ par l'inégalité de la moyenne $m(b-a)\leq\displaystyle\int_a^bf\leq M(b-a)$ .
Calculer exactement $I$ en reconnaissant une forme $u'u$ .
Vérifier que la valeur obtenue vérifie l'encadrement et calculer la valeur moyenne $m$ de $f$ sur $[e\,;\,e^2]$ .
Montrer qu'il existe $c\in[e\,;\,e^2]$ tel que $f(c)=m$ (théorème des valeurs intermédiaires) et en donner une valeur approchée.

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Corrigé — Inégalité de la moyenne pour (ln x)/x

$f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\leq0$ pour $x\geq e$ : $f$ est décroissante sur $[e\,;\,e^2]$ , de $f(e)=\dfrac1e$ à $f(e^2)=\dfrac{2}{e^2}$ .
$\dfrac2{e^2}(e^2-e)\leq I\leq\dfrac1e(e^2-e)$ , soit $2-\dfrac2e\leq I\leq e-1$ : $1{,}264\leq I\leq1{,}718$ .
$f(x)=\dfrac1x\ln x=u'(x)u(x)$ avec $u=\ln$ : primitive $\dfrac{(\ln x)^2}2$ . $I=\dfrac{(\ln e^2)^2-(\ln e)^2}{2}=\dfrac{4-1}2=\dfrac32$ .
$1{,}264\leq1{,}5\leq1{,}718$ ✓. $m=\dfrac{3/2}{e^2-e}\approx0{,}321$ , valeur comprise entre $f(e^2)\approx0{,}271$ et $f(e)\approx0{,}368$ .
$f$ est continue sur $[e\,;\,e^2]$ et $f(e^2)\leq m\leq f(e)$ : le TVI (ou la bijection) assure qu'il existe un unique $c$ avec $f(c)=m$ . Numériquement $c\approx5{,}03$ .