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Niveau 2 — Intégrales — 40 min

Encadrement de ∫₀¹ ln(1+x) dx

On s'intéresse à $I=\displaystyle\int_0^1\ln(1+x)\,dx$ .

Montrer que pour $x\geq0$ : $x-\dfrac{x^2}2\leq\ln(1+x)\leq x$ .
En déduire $\dfrac13\leq I\leq\dfrac12$ .
Calculer exactement $I$ par intégration par parties (avec $u(x)=\ln(1+x)$ et $v'(x)=1$ ).
Vérifier la cohérence avec l'encadrement. Que donne cet encadrement pour une valeur approchée de $\ln2$ ?
Calculer de même $\displaystyle\int_0^1\left(x-\ln(1+x)\right)dx$ : à quoi correspond ce nombre ?

Niveau 2 — Intégrales — 40 min

Corrigé — Encadrement de ∫₀¹ ln(1+x) dx

$g'(x)=1-\dfrac1{1+x}=\dfrac{x}{1+x}\geq0$ , $g(0)=0$ donc $g\geq0$ : $\ln(1+x)\leq x$ . $h'(x)=\dfrac1{1+x}-1+x=\dfrac{x^2}{1+x}\geq0$ , $h(0)=0$ donc $h\geq0$ .
$\displaystyle\int_0^1\left(x-\dfrac{x^2}2\right)dx=\dfrac12-\dfrac16=\dfrac13$ et $\displaystyle\int_0^1x\,dx=\dfrac12$ . Par croissance de l'intégrale : $\dfrac13\leq I\leq\dfrac12$ .
$I=\left[x\ln(1+x)\right]_0^1-\displaystyle\int_0^1\dfrac{x}{1+x}dx=\ln2-\int_0^1\left(1-\dfrac1{1+x}\right)dx=\ln2-\left(1-\ln2\right)=2\ln2-1\approx0{,}3863$ .
$0{,}333\leq0{,}386\leq0{,}5$ ✓. De $\dfrac13\leq2\ln2-1\leq\dfrac12$ on tire $\dfrac23\leq\ln2\leq\dfrac34$ ( $0{,}667\leq\ln2\leq0{,}75$ ).
$=\dfrac12-(2\ln2-1)=\dfrac32-2\ln2\approx0{,}1137$ : c'est l'aire du domaine compris entre la droite $y=x$ (au-dessus) et la courbe de $\ln(1+x)$ sur $[0\,;\,1]$ .