Pour que le moteur comptabilise tes réponses, il faudra les entrer ici quand tu auras fini.

Le PDF s'ouvre dans un nouvel onglet : tu peux l'enregistrer sur ton ordinateur ou l'imprimer.

Niveau 2 — Intégrales — 40 min

Encadrer ∫₀¹ e^{−x²} dx

On souhaite encadrer $I=\displaystyle\int_0^1e^{-x^2}\,dx$ , intégrale dont la fonction n'a pas de primitive usuelle.

Montrer que pour tout $u\geq0$ : $1-u\leq e^{-u}$ (étudier $\varphi(u)=e^{-u}-1+u$ ).
Montrer de même que pour tout $u\geq0$ : $e^{-u}\leq1-u+\dfrac{u^2}2$ .
En remplaçant $u$ par $x^2$ et en intégrant sur $[0\,;\,1]$ , montrer que $\dfrac23\leq I\leq\dfrac{23}{30}$ .
Donner un encadrement décimal de $I$ d'amplitude environ $0{,}1$ et vérifier avec la valeur $I\approx0{,}7468$ .
Un encadrement plus simple : montrer que $\dfrac1e\leq I\leq1$ . Lequel des deux encadrements est le meilleur ?

Niveau 2 — Intégrales — 40 min

Corrigé — Encadrer ∫₀¹ e^{−x²} dx

$\varphi'(u)=1-e^{-u}\geq0$ pour $u\geq0$ et $\varphi(0)=0$ : $\varphi$ est croissante donc positive : $e^{-u}\geq1-u$ .
$\psi'(u)=-1+u+e^{-u}=\varphi(u)\geq0$ et $\psi(0)=0$ : $\psi$ est croissante donc positive.
Pour $x\in[0\,;\,1]$ : $1-x^2\leq e^{-x^2}\leq1-x^2+\dfrac{x^4}2$ . On intègre : $\displaystyle\int_0^1(1-x^2)dx=\dfrac23$ et $\displaystyle\int_0^1\left(1-x^2+\dfrac{x^4}2\right)dx=1-\dfrac13+\dfrac1{10}=\dfrac{23}{30}$ . Donc $\dfrac23\leq I\leq\dfrac{23}{30}$ .
$0{,}666\leq I\leq0{,}767$ (amplitude $\dfrac{23}{30}-\dfrac23=\dfrac{3}{30}=0{,}1$ ) ; $0{,}7468$ est bien dans l'encadrement ✓.
Sur $[0\,;\,1]$ , $-1\leq-x^2\leq0$ donc $e^{-1}\leq e^{-x^2}\leq1$ , d'où $0{,}367\leq I\leq1$ : amplitude $0{,}63$ . L'encadrement précédent, d'amplitude $0{,}1$ , est bien meilleur.