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Niveau 2 — Intégrales — 35 min

Intégrale d'une valeur absolue

On définit sur $\mathbb{R}$ la fonction $Q$ par $Q(x)=\displaystyle\int_0^x|t-1|\,dt$ .

Montrer que $Q(x)=x-\dfrac{x^2}{2}$ si $x\leq1$ et $Q(x)=\dfrac{x^2}{2}-x+1$ si $x\geq1$ .
Montrer que $Q$ est continue en $1$ et dérivable sur $\mathbb{R}$ . Calculer $Q'(x)$ .
Dresser le tableau de variations de $Q$ sur $\mathbb{R}$ .
Étudier la convexité de $Q$ . Montrer que $Q$ admet un point d'inflexion en $x=1$ .
Calculer $Q(3)$ et la valeur moyenne de $t\mapsto|t-1|$ sur $[0\,;\,3]$ .

Niveau 2 — Intégrales — 35 min

Corrigé — Intégrale d'une valeur absolue

Si $x\leq1$ : $|t-1|=1-t$ sur $[x\,;\,0]$ ou $[0\,;\,x]$ donc $Q(x)=\displaystyle\int_0^x(1-t)dt=x-\dfrac{x^2}2$ . Si $x\geq1$ : $Q(x)=\displaystyle\int_0^1(1-t)dt+\int_1^x(t-1)dt=\dfrac12+\left(\dfrac{x^2}2-x+\dfrac12\right)=\dfrac{x^2}2-x+1$ .
$Q$ est la primitive de la fonction continue $f(t)=|t-1|$ qui s'annule en $0$ : elle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $Q'(x)=|x-1|$ . En particulier $Q(1^-)=\dfrac12=Q(1^+)$ ✓.
$Q'(x)=|x-1|\geq0$ avec égalité seulement en $x=1$ : $Q$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ . $\lim\limits_{x\to-\infty}Q=-\infty$ , $\lim\limits_{x\to+\infty}Q=+\infty$ .
$Q'(x)=|x-1|$ est décroissante sur $]-\infty\,;\,1]$ donc $Q$ est concave sur cet intervalle ; $Q'$ est croissante sur $[1\,;\,+\infty[$ donc $Q$ est convexe. Changement de concavité en $x=1$ : point d'inflexion $\left(1\,;\,\dfrac12\right)$ à tangente horizontale ( $Q'(1)=0$ ).
$Q(3)=\dfrac92-3+1=\dfrac52$ et la valeur moyenne est $\dfrac{1}{3}\times\dfrac52=\dfrac56$ .