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Niveau 2 — Intégrales — 35 min

Intégrales à bornes variables

On considère les fonctions $P$ et $H$ définies par $P(x)=\displaystyle\int_x^{x+1}e^{-t}\,dt$ ( $x\in\mathbb{R}$ ) et $H(x)=\displaystyle\int_x^{2x}\dfrac{dt}{t}$ ( $x>0$ ).

Calculer $P(x)$ et montrer que $P(x)=\left(1-e^{-1}\right)e^{-x}$ .
Étudier les variations et les limites de $P$ . Donner l'allure de la courbe.
Calculer $H(x)$ et en déduire que $H$ est constante.
Retrouver que $H'=0$ en utilisant la formule de dérivation d'une intégrale à bornes variables $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_x^{2x}f(t)dt=2f(2x)-f(x)$ .
Interpréter géométriquement $H(x)=\ln2$ : pourquoi l'aire sous $y=\dfrac1t$ entre $x$ et $2x$ ne dépend-elle pas de $x$ ?

Niveau 2 — Intégrales — 35 min

Corrigé — Intégrales à bornes variables

$P(x)=\left[-e^{-t}\right]_x^{x+1}=-e^{-x-1}+e^{-x}=e^{-x}\left(1-e^{-1}\right)$ .
$P'(x)=-\left(1-e^{-1}\right)e^{-x}<0$ : $P$ strictement décroissante. $\lim\limits_{x\to-\infty}P(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}P(x)=0$ . $P$ est convexe ( $P''>0$ ). $P(0)=1-e^{-1}\approx0{,}632$ .
$H(x)=\left[\ln t\right]_x^{2x}=\ln(2x)-\ln x=\ln2$ : $H$ est constante égale à $\ln2\approx0{,}693$ .
Avec $f(t)=\dfrac1t$ : $H'(x)=2f(2x)-f(x)=\dfrac{2}{2x}-\dfrac1x=0$ ✓ (dérivée de $\Phi(2x)-\Phi(x)$ avec $\Phi'=f$ ).
L'aire sous $y=\dfrac1t$ entre $x$ et $2x$ est toujours la même : le changement d'échelle $t\mapsto2t$ multiplie la largeur de l'intervalle par $2$ mais divise la hauteur de la courbe par $2$ ; l'aire est conservée. C'est la propriété fondamentale du logarithme.