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Niveau 2 — Intégrales — 40 min

Étude de G(x) = ∫₁ˣ (ln t)/t² dt

On définit GG sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par G(x)=∫1xln⁡tt2 dtG(x)=\displaystyle\int_1^x\dfrac{\ln t}{t^2}\,dt.

  1. En intégrant par parties, montrer que G(x)=1−1+ln⁡xxG(x)=1-\dfrac{1+\ln x}{x}.

  2. Calculer G′(x)G'(x) de deux façons et en déduire le tableau de signes de G′G'.

  3. Déterminer les limites de GG en 0+0^+ et +∞+\infty puis dresser le tableau de variations.

  4. Étudier la convexité de GG ; calculer les coordonnées de son point d'inflexion (arrondir l'ordonnée à 10−310^{-3}).

Niveau 2 — Intégrales — 40 min

Corrigé — Étude de G(x) = ∫₁ˣ (ln t)/t² dt

  1. G(x)=[−ln⁡tt]1x+∫1x1t2dt=−ln⁡xx+[−1t]1x=−ln⁡xx−1x+1=1−1+ln⁡xxG(x)=\left[-\dfrac{\ln t}{t}\right]_1^x+\displaystyle\int_1^x\dfrac{1}{t^2}dt=-\dfrac{\ln x}{x}+\left[-\dfrac1t\right]_1^x=-\dfrac{\ln x}x-\dfrac1x+1=1-\dfrac{1+\ln x}{x}.

  2. Par le cours, G′(x)=ln⁡xx2G'(x)=\dfrac{\ln x}{x^2} ; en dérivant l'expression : G′(x)=−1x⋅x−(1+ln⁡x)x2=ln⁡xx2G'(x)=-\dfrac{\frac1x\cdot x-(1+\ln x)}{x^2}=\dfrac{\ln x}{x^2} ✓. Signe de ln⁡x\ln x : négatif sur ]0 ; 1[]0\,;\,1[, positif sur ]1 ; +∞[]1\,;\,+\infty[.

  3. En +∞+\infty : 1+ln⁡xx→0\dfrac{1+\ln x}{x}\to0 donc G→1G\to1. En 0+0^+ : 1+ln⁡x→−∞1+\ln x\to-\infty et 1x→+∞\dfrac1x\to+\infty donc 1+ln⁡xx→−∞\dfrac{1+\ln x}{x}\to-\infty et G→+∞G\to+\infty. GG décroît de +∞+\infty à G(1)=0G(1)=0 sur ]0 ; 1]]0\,;\,1] puis croît de 00 à 11.

  4. G′′(x)=1x⋅x2−2xln⁡xx4=1−2ln⁡xx3G''(x)=\dfrac{\frac1x\cdot x^2-2x\ln x}{x^4}=\dfrac{1-2\ln x}{x^3} : positive si ln⁡x<12\ln x<\dfrac12 (x<ex<\sqrt e), négative après. GG convexe sur ]0 ; e]]0\,;\,\sqrt e], concave sur [e ; +∞[[\sqrt e\,;\,+\infty[ ; point d'inflexion (e ; 1−32e)≈(1,649 ; 0,090)\left(\sqrt e\,;\,1-\dfrac{3}{2\sqrt e}\right)\approx(1{,}649\,;\,0{,}090).