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Niveau 2 — Intégrales — 40 min

Étude de Φ(x) = ∫₀ˣ (t²−1)e^{−t} dt

On considère la fonction Φ\Phi définie sur R\mathbb{R} par Φ(x)=∫0x(t2−1)e−t dt\Phi(x)=\displaystyle\int_0^x(t^2-1)e^{-t}\,dt.

  1. Vérifier que la fonction G:t↦−(t+1)2e−tG : t\mapsto-(t+1)^2e^{-t} est une primitive de t↦(t2−1)e−tt\mapsto(t^2-1)e^{-t} puis exprimer Φ(x)\Phi(x).

  2. Étudier les variations de Φ\Phi (signe de Φ′\Phi') et calculer ses extremums locaux.

  3. Déterminer les limites de Φ\Phi en −∞-\infty et +∞+\infty.

  4. Montrer que l'équation Φ(x)=0\Phi(x)=0 admet exactement trois solutions, dont 00, et donner des valeurs approchées des deux autres à 10−210^{-2} près.

Niveau 2 — Intégrales — 40 min

Corrigé — Étude de Φ(x) = ∫₀ˣ (t²−1)e^{−t} dt

  1. G′(t)=−2(t+1)e−t+(t+1)2e−t=(t+1)(t−1)e−t=(t2−1)e−tG'(t)=-2(t+1)e^{-t}+(t+1)^2e^{-t}=(t+1)(t-1)e^{-t}=(t^2-1)e^{-t} ✓. Donc Φ(x)=G(x)−G(0)=1−(x+1)2e−x\Phi(x)=G(x)-G(0)=1-(x+1)^2e^{-x}.

  2. Φ′(x)=(x−1)(x+1)e−x\Phi'(x)=(x-1)(x+1)e^{-x} : positive sur ]−∞ ; −1]]-\infty\,;\,-1], négative sur [−1 ; 1][-1\,;\,1], positive sur [1 ; +∞[[1\,;\,+\infty[. Maximum local Φ(−1)=1\Phi(-1)=1, minimum local Φ(1)=1−4e−1≈−0,472\Phi(1)=1-4e^{-1}\approx-0{,}472.

  3. En +∞+\infty : (x+1)2e−x→0(x+1)^2e^{-x}\to0 (croissances comparées) donc Φ→1\Phi\to1. En −∞-\infty : (x+1)2→+∞(x+1)^2\to+\infty et e−x→+∞e^{-x}\to+\infty donc Φ→−∞\Phi\to-\infty.

  4. Sur ]−∞ ; −1]]-\infty\,;\,-1], Φ\Phi est continue strictement croissante de −∞-\infty à 11 : une solution α<−1\alpha<-1. Sur [−1 ; 1][-1\,;\,1] strictement décroissante de 11 à Φ(1)<0\Phi(1)<0 : une seule solution, x=0x=0. Sur [1 ; +∞[[1\,;\,+\infty[ strictement croissante de Φ(1)<0\Phi(1)<0 vers 11 : une solution β>1\beta>1. Numériquement α≈−1,48\alpha\approx-1{,}48 et β≈2,51\beta\approx2{,}51.