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Niveau 2 — Intégrales — 30 min

Somme d'intégrales et télescopage

Pour tout entier $n\geq0$ , on pose $a_n=\displaystyle\int_0^1x^n(1-x)\,dx$ .

Montrer que $a_n=\dfrac1{n+1}-\dfrac1{n+2}$ .
Calculer $S_N=\displaystyle\sum_{n=0}^Na_n$ (télescopage).
En déduire $\lim\limits_{N\to+\infty}S_N$ .
Montrer que $S_N=\displaystyle\int_0^1\left(1-x^{N+1}\right)dx$ en sommant une suite géométrique sous l'intégrale. Retrouver la valeur de $S_N$ .
Interpréter : que représente le fait que $S_N\to1=\displaystyle\int_0^11\,dx$ ?

Niveau 2 — Intégrales — 30 min

Corrigé — Somme d'intégrales et télescopage

$a_n=\displaystyle\int_0^1\left(x^n-x^{n+1}\right)dx=\dfrac1{n+1}-\dfrac1{n+2}=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$ .
$S_N=\left(1-\dfrac12\right)+\left(\dfrac12-\dfrac13\right)+\dots+\left(\dfrac1{N+1}-\dfrac1{N+2}\right)=1-\dfrac1{N+2}$ .
$\dfrac{1}{N+2}\to0$ donc $S_N\to1$ .
Par linéarité $S_N=\displaystyle\int_0^1\sum_{n=0}^Nx^n(1-x)dx$ et $\sum_{n=0}^Nx^n(1-x)=(1-x)\dfrac{1-x^{N+1}}{1-x}=1-x^{N+1}$ pour $x\neq1$ . Donc $S_N=\displaystyle\int_0^1(1-x^{N+1})dx=1-\dfrac1{N+2}$ ✓.
Pour $x\in[0\,;\,1[$ , $\sum_{n\geq0}x^n(1-x)=1$ (série géométrique) : la somme infinie des aires $a_n$ redonne l'aire $1$ du carré unité sous la droite $y=1$ .