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Niveau 2 — Intégrales — 35 min

Suite d'intégrales I_n = ∫ (ln x)ⁿ

Pour tout entier n≥0n\geq0, on pose In=∫1e(ln⁡x)n dxI_n=\displaystyle\int_1^e(\ln x)^n\,dx.

  1. Calculer I0I_0 et I1I_1 (pour I1I_1, intégrer par parties avec u(x)=ln⁡xu(x)=\ln x et v′(x)=1v'(x)=1).

  2. Montrer que In+1=e−(n+1)InI_{n+1}=e-(n+1)I_n pour tout nn.

  3. En déduire I2I_2 et I3I_3.

  4. Montrer que (In)(I_n) est positive et décroissante.

  5. Montrer que (n+2)In+1≤e(n+2)I_{n+1}\leq e, puis que (In)(I_n) converge vers 00.

Niveau 2 — Intégrales — 35 min

Corrigé — Suite d'intégrales I_n = ∫ (ln x)ⁿ

  1. I0=e−1I_0=e-1. I1=[xln⁡x]1e−∫1e1 dx=e−(e−1)=1I_1=\left[x\ln x\right]_1^e-\displaystyle\int_1^e1\,dx=e-(e-1)=1.

  2. IPP : In+1=[x(ln⁡x)n+1]1e−∫1ex×(n+1)(ln⁡x)nxdx=e−(n+1)InI_{n+1}=\left[x(\ln x)^{n+1}\right]_1^e-\displaystyle\int_1^ex\times\dfrac{(n+1)(\ln x)^n}{x}dx=e-(n+1)I_n.

  3. I2=e−2I1=e−2≈0,718I_2=e-2I_1=e-2\approx0{,}718 ; I3=e−3I2=6−2e≈0,563I_3=e-3I_2=6-2e\approx0{,}563.

  4. Pour x∈[1 ; e]x\in[1\,;\,e], 0≤ln⁡x≤10\leq\ln x\leq1 donc (ln⁡x)n+1≤(ln⁡x)n(\ln x)^{n+1}\leq(\ln x)^n et (ln⁡x)n≥0(\ln x)^n\geq0 ; par intégration 0≤In+1≤In0\leq I_{n+1}\leq I_n.

  5. e=In+1+(n+1)In≥In+1+(n+1)In+1=(n+2)In+1e=I_{n+1}+(n+1)I_n\geq I_{n+1}+(n+1)I_{n+1}=(n+2)I_{n+1}. Donc 0≤In+1≤en+2→00\leq I_{n+1}\leq\dfrac{e}{n+2}\to0 : lim⁡In=0\lim I_n=0.