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Niveau 2 — Intégrales — 35 min

Suite d'intégrales I_n = ∫ xⁿ/(1+x)

Pour tout entier $n\geq0$ , on pose $I_n=\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^n}{1+x}\,dx$ .

Calculer $I_0$ puis montrer que $I_n+I_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}$ pour tout $n$ .
En déduire $I_1$ et $I_2$ .
Montrer que la suite $(I_n)$ est positive et décroissante.
Montrer que $\dfrac{1}{2(n+1)}\leq I_n\leq\dfrac{1}{n+1}$ .
En déduire la limite de $(I_n)$ et celle de $(nI_n)$ si elle existe : que peut-on affirmer sur $nI_n$ ?

Niveau 2 — Intégrales — 35 min

Corrigé — Suite d'intégrales I_n = ∫ xⁿ/(1+x)

$I_0=\left[\ln(1+x)\right]_0^1=\ln2$ . Ensuite $I_n+I_{n+1}=\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^n(1+x)}{1+x}dx=\int_0^1x^ndx=\dfrac1{n+1}$ .
$I_1=1-I_0=1-\ln2\approx0{,}307$ et $I_2=\dfrac12-I_1=\ln2-\dfrac12\approx0{,}193$ .
$\dfrac{x^n}{1+x}\geq0$ sur $[0\,;\,1]$ donc $I_n\geq0$ . Comme $x^{n+1}\leq x^n$ sur $[0\,;\,1]$ , $\dfrac{x^{n+1}}{1+x}\leq\dfrac{x^n}{1+x}$ donc $I_{n+1}\leq I_n$ .
Pour $x\in[0\,;\,1]$ : $\dfrac12\leq\dfrac1{1+x}\leq1$ , donc $\dfrac{x^n}2\leq\dfrac{x^n}{1+x}\leq x^n$ . On intègre : $\dfrac1{2(n+1)}\leq I_n\leq\dfrac1{n+1}$ .
Les gendarmes donnent $\lim I_n=0$ . Par ailleurs $\dfrac{n}{2(n+1)}\leq nI_n\leq\dfrac n{n+1}$ : $nI_n$ reste entre $\dfrac12\times\dfrac{n}{n+1}$ et $1$ (borné). En fait, de $I_n+I_{n+1}=\dfrac1{n+1}$ et $I_n\approx I_{n+1}$ on montre que $nI_n\to\dfrac12$ .