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Niveau 2 — Intégrales — 35 min

Suite d'intégrales I_n = ∫ xⁿe^{−x}

Pour tout entier naturel nn, on pose In=∫01xne−x dxI_n=\displaystyle\int_0^1x^ne^{-x}\,dx.

  1. Calculer I0I_0 puis I1I_1 (à l'aide d'une intégration par parties pour I1I_1).

  2. Montrer que pour tout nn, In+1=(n+1)In−e−1I_{n+1}=(n+1)I_n-e^{-1}.

  3. En déduire I2I_2 et I3I_3 (valeurs exactes) puis une valeur approchée de I3I_3 à 10−310^{-3} près.

  4. Montrer que la suite (In)(I_n) est positive et décroissante.

  5. Montrer que 0≤In≤1n+10\leq I_n\leq\dfrac{1}{n+1} puis déterminer la limite de (In)(I_n).

Niveau 2 — Intégrales — 35 min

Corrigé — Suite d'intégrales I_n = ∫ xⁿe^{−x}

  1. I0=[−e−x]01=1−e−1I_0=\left[-e^{-x}\right]_0^1=1-e^{-1}. Pour I1I_1 : u=xu=x, v′=e−xv'=e^{-x}, v=−e−xv=-e^{-x} : I1=[−xe−x]01+∫01e−xdx=−e−1+(1−e−1)=1−2e−1I_1=\left[-xe^{-x}\right]_0^1+\displaystyle\int_0^1e^{-x}dx=-e^{-1}+(1-e^{-1})=1-2e^{-1}.

  2. u(x)=xn+1u(x)=x^{n+1}, u′(x)=(n+1)xnu'(x)=(n+1)x^n, v′(x)=e−xv'(x)=e^{-x}, v(x)=−e−xv(x)=-e^{-x} : In+1=[−xn+1e−x]01+(n+1)∫01xne−xdx=−e−1+(n+1)InI_{n+1}=\left[-x^{n+1}e^{-x}\right]_0^1+(n+1)\displaystyle\int_0^1x^ne^{-x}dx=-e^{-1}+(n+1)I_n.

  3. I2=2I1−e−1=2−4e−1−e−1=2−5e−1≈0,1606I_2=2I_1-e^{-1}=2-4e^{-1}-e^{-1}=2-5e^{-1}\approx0{,}1606 ; I3=3I2−e−1=6−16e−1≈0,114I_3=3I_2-e^{-1}=6-16e^{-1}\approx0{,}114.

  4. Sur [0 ; 1][0\,;\,1] : xne−x≥0x^ne^{-x}\geq0 donc In≥0I_n\geq0. De plus 0≤x≤10\leq x\leq1 donne xn+1≤xnx^{n+1}\leq x^n, donc xn+1e−x≤xne−xx^{n+1}e^{-x}\leq x^ne^{-x} et, par croissance de l'intégrale, In+1≤InI_{n+1}\leq I_n.

  5. Comme 0≤e−x≤10\leq e^{-x}\leq1 : 0≤xne−x≤xn0\leq x^ne^{-x}\leq x^n donc 0≤In≤∫01xndx=1n+10\leq I_n\leq\displaystyle\int_0^1x^ndx=\dfrac1{n+1}. Par le théorème des gendarmes, lim⁡n→+∞In=0\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0.