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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Comparer des intégrales à l'aide d'un graphique

On se place dans un repère orthogonal $(O\,;\,\vec\imath,\vec\jmath)$ . L'unité d'aire (u.a.) est l'aire d'un carreau du quadrillage, c'est-à-dire d'un rectangle de côtés $1$ en abscisse et $1$ en ordonnée. On considère $f : x\mapsto x^2$ et $g : x\mapsto x$ sur $[0\,;\,1]$ ; $\mathcal{C}_f$ est la parabole et $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y=x$ .

Parabole y=x² et droite y=x sur [0;1], région entre elles coloriée.

Lire graphiquement la position relative de $\mathcal{C}_f$ et de $\mathcal{D}$ sur $[0\,;\,1]$ .
En déduire une comparaison de $\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx$ et $\displaystyle\int_0^1g(x)\,dx$ . Quelle propriété de l'intégrale utilise-t-on ?
Calculer $\displaystyle\int_0^1g(x)\,dx$ avec l'aire d'un triangle, puis $\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx$ avec une primitive.
Quelle est l'aire de la région colorée (comprise entre $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{D}$ ) ?
Montrer à l'aide du graphique que $0\leq\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx\leq1$ , puis préciser un encadrement plus fin en utilisant $\mathcal{D}$ .

Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Corrigé — Comparer des intégrales à l'aide d'un graphique

$\mathcal{C}_f$ est au-dessous de $\mathcal{D}$ : $f(x)\leq g(x)$ sur $[0\,;\,1]$ (car $x^2\leq x$ pour $x\in[0;1]$ ).
Par croissance de l'intégrale (les bornes sont dans l'ordre croissant) : $\displaystyle\int_0^1f\leq\int_0^1g$ .
$\displaystyle\int_0^1x\,dx=\dfrac{1\times1}{2}=\dfrac12$ et $\displaystyle\int_0^1x^2dx=\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac13$ .
$\dfrac12-\dfrac13=\dfrac16$ u.a.
$0\leq f(x)\leq1$ sur $[0;1]$ donc $0\leq\displaystyle\int_0^1f\leq1\times(1-0)=1$ . Avec $f\leq g$ : $\displaystyle\int_0^1f\leq\dfrac12$ . Ainsi $0\leq\displaystyle\int_0^1f\leq\dfrac12$ (et en effet $\dfrac13$ ).