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Niveau 1 — Intégrales — 15 min

Fonction impaire et intégrale sur un intervalle symétrique

On se place dans un repère orthogonal $(O\,;\,\vec\imath,\vec\jmath)$ . L'unité d'aire (u.a.) est l'aire d'un carreau du quadrillage, c'est-à-dire d'un rectangle de côtés $1$ en abscisse et $1$ en ordonnée. La courbe $\mathcal{C}_f$ est celle d'une fonction $f$ impaire, affine par morceaux sur $[-3\,;\,3]$ , de sommets $(-3\,;\,-2)$ , $(-1\,;\,-2)$ , $(0\,;\,0)$ , $(1\,;\,2)$ , $(3\,;\,2)$ .

Courbe impaire affine par morceaux, négative sur [-3;0] (rouge) et positive sur [0;3] (vert).

Calculer $\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx$ puis $\displaystyle\int_1^3f(x)\,dx$ .
En déduire $\displaystyle\int_0^3f(x)\,dx$ .
Sans calcul supplémentaire, que vaut $\displaystyle\int_{-3}^0f(x)\,dx$ ? Justifier par la symétrie de $\mathcal{C}_f$ par rapport à l'origine.
Calculer $\displaystyle\int_{-3}^3f(x)\,dx$ et $\displaystyle\int_{-3}^3|f(x)|\,dx$ .

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Corrigé — Fonction impaire et intégrale sur un intervalle symétrique

Triangle de base $1$ et de hauteur $2$ : $1$ . Rectangle de largeur $2$ et de hauteur $2$ : $4$ .
$1+4=5$ .
$f$ est impaire : la partie de la courbe sur $[-3\,;\,0]$ est la symétrique de celle sur $[0\,;\,3]$ par rapport à $O$ . Les aires sont égales mais de signes contraires : $\displaystyle\int_{-3}^0f=-5$ .
$\displaystyle\int_{-3}^3f=-5+5=0$ et $\displaystyle\int_{-3}^3|f|=5+5=10$ .