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Encadrer une intégrale par des rectangles

On se place dans un repère orthogonal $(O\,;\,\vec\imath,\vec\jmath)$ . L'unité d'aire (u.a.) est l'aire d'un carreau du quadrillage, c'est-à-dire d'un rectangle de côtés $1$ en abscisse et $1$ en ordonnée. On considère la fonction $f : x\mapsto\dfrac1x$ sur $[1\,;\,5]$ , décroissante. On encadre $I=\displaystyle\int_1^5\dfrac1x\,dx$ avec des rectangles de largeur $1$ : ceux en vert sont sous la courbe, ceux en vert + orange dépassent au-dessus.

Courbe y=1/x sur [1;5] avec rectangles de largeur 1 sous la courbe (verts) et au-dessus (oranges).

Exprimer la somme des aires des quatre rectangles verts (hauteurs $f(2),f(3),f(4),f(5)$ ). Calculer sa valeur exacte.
Exprimer de même la somme des aires des quatre rectangles qui dépassent (hauteurs $f(1),f(2),f(3),f(4)$ ).
Donner l'encadrement de $I$ obtenu.
Calculer $I$ exactement avec une primitive de $f$ , puis vérifier l'encadrement.

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Corrigé — Encadrer une intégrale par des rectangles

$S_{\min}=\dfrac12+\dfrac13+\dfrac14+\dfrac15=\dfrac{30+20+15+12}{60}=\dfrac{77}{60}\approx1{,}283$ .
$S_{\max}=1+\dfrac12+\dfrac13+\dfrac14=\dfrac{12+6+4+3}{12}=\dfrac{25}{12}\approx2{,}083$ .
$\dfrac{77}{60}\leq I\leq\dfrac{25}{12}$ , soit $1{,}28\leq I\leq2{,}09$ .
$I=\ln5-\ln1=\ln5\approx1{,}609$ , qui appartient bien à $[1{,}283\,;\,2{,}083]$ ✓.